《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

5. 要求tan 30°的值，可构造如图26−1−10所示的直角三角形. 作Rt△ABC，使∠C = 90°，斜边AB = 2，直角边AC = 1，那么BC = $\sqrt{3}$，∠ABC = 30°，所以tan 30° = $\frac{AC}{BC}$ = $\frac{1}{\sqrt{3}}$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$。在此图的基础上，通过添加适当的辅助线可求出tan 15°的值. 如何添加辅助线？怎样求tan 15°的值？
　　　　　　　　　　　

答案：
解：如图 D - 26 - 4，延长 CB 到 D，使 BD = AB，连接 AD，则$\angle D=\angle BAD$。
$\because \angle ABC = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle D = 15^{\circ}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\cos30^{\circ}=\frac{BC}{AB}$，
$\therefore BC = AB\cos30^{\circ}=\sqrt{3}$。
又$\because CD = BC + BD = BC + AB=\sqrt{3}+2$，
$\therefore \tan15^{\circ}=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=2-\sqrt{3}$。

1. 在△ABC中，∠C = 90°，sin A = $\frac{4}{5}$，则tan B =( )
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{3}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

答案：
B 解析：如图 D - 26 - 5，$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，设$BC = 4x$，则$AB = 5x$。
根据勾股定理可得
$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}} = 3x$，
$\therefore \tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{3x}{4x}=\frac{3}{4}$。

2. 如图26−1−11，在Rt△ABC中，∠C = 90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( )
　　　　　　　　
A. 扩大为原来的2倍
B. 缩小为原来的$\frac{1}{2}$
C. 扩大为原来的4倍
D. 不变

答案： D 解析：因为变化后的三角形与原三角形相似，$\angle A$的大小不变，所以$\angle A$的正弦值不变。

3. 如图26−1−12，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，3)，那么cosα的值是( )
　　　　　　
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{3}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

答案：
D 解析：如图 D - 26 - 6，因为点 A 的坐标是(4，3)，
所以$OB = 4$，$AB = 3$，
所以在$Rt\triangle ABO$中由勾股定理可得$OA = 5$，
所以$\cos\alpha=\frac{OB}{OA}=\frac{4}{5}$。

4. 如图26−1−13，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cos A = $\frac{3}{5}$，BE = 2，则tan∠DBE的值是( )
　　　　　　
A. $\frac{1}{2}$
B. 2
C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
二、填空题

答案： B 解析：在$Rt\triangle ADE$中，$\because \cos A=\frac{AE}{AD}=\frac{3}{5}$，
$\therefore$设$AE = 3x$，则$AD = 5x$，由勾股定理可得$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}} = 4x$。$\because$四边形 ABCD 是菱形，
$\therefore AB = AD = 5x$，$\therefore BE = 5x - 3x = 2x = 2$，
$\therefore x = 1$，$DE = 4$。
在$Rt\triangle DBE$中，$\tan\angle DBE=\frac{DE}{BE}=\frac{4}{2}=2$。

5. 如图26−1−14，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE. 若BE = 9，BC = 12，则cos C =________。

答案： $\frac{2}{3}$ 解析：因为 DE 是 BC 的垂直平分线，所以$CE = BE = 9$，$CD = BD = 6$，所以$\cos C=\frac{CD}{CE}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。