《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

20. (本小题满分8分)解方程：
(1) $(x - 3)^{2}+4x(x - 3)=0$。
(2) $x^{2}-3x - 1 = 0$。

答案：
(1)解法1：$(x - 3)^{2}+4x(x - 3)=0$，
$(x - 3)(x - 3 + 4x)=0$，
$(x - 3)(5x - 3)=0$， ………………… (1分)
∴$x - 3 = 0$或$5x - 3 = 0$，
∴$x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{3}{5}$. ………………… (4分)
解法2：$x^{2}-6x + 9 + 4x^{2}-12x = 0$，$5x^{2}-18x + 9 = 0$， …………………………… (1分)
∴$x=\frac{18\pm\sqrt{(-18)^{2}-4×5×9}}{2×5}=\frac{18\pm12}{10}$，
即$x_{1}=3$，$x_{2}=\frac{3}{5}$. ………………… (4分)
(2)解：
∵$a = 1$，$b=-3$，$c=-1$，
∴$b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×(-1)=13$.
…………………………………… (6分)
∴$x_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$，$x_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$. ……… (8分)

21. (本小题满分10分)某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分满分均为100分。
前6名选手的得分如下：

根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩(综合成绩的满分仍为100分)。
(1) 这6名选手笔试成绩的中位数是_______分，众数是_______分。
(2) 现得知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩各占的百分比。
(3) 求出其余五名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定前两名人选。

答案： 解：
(1)84.5，84. ………………… (2分)
(2)设笔试成绩和面试成绩各占的百分比为x，y，
由题意，得$\begin{cases}x + y = 1\\85x + 90y = 88\end{cases}$. …………… (4分)
解这个方程组，得$\begin{cases}x = 0.4\\y = 0.6\end{cases}$.
∴笔试成绩和面试成绩各占的百分比为40%和60%. …………………………… (6分)
(3)2号选手的综合成绩为$92×0.4 + 88×0.6=89.6$(分)，
3号选手的综合成绩为$84×0.4 + 86×0.6=85.2$(分)，
4号选手的综合成绩为$90×0.4 + 90×0.6=90$(分)，
5号选手的综合成绩为$84×0.4 + 80×0.6=81.6$(分)，
6号选手的综合成绩为$80×0.4 + 85×0.6=83$(分).
∴综合成绩最高的两名选手是4号和2号.
…………………………………… (10分)

22. (本小题满分9分)已知关于x的一元二次方程$x^{2}-2kx - 3k^{2}+8k - 4 = 0$。
(1) 试判断这个方程的根的情况。
(2) 若这个方程的两个实数根一个小于1，另一个大于2，求k的取值范围。

答案： 解：
(1)原方程的根的判别式为
$(-2k)^{2}-4(-3k^{2}+8k - 4)$ …………… (1分)
$=16k^{2}-32k + 16=(4k - 4)^{2}$. ………… (3分)
∵无论k取何值，$(4k - 4)^{2}\geq0$，
∴原方程有实数根. ………………… (4分)
(2)解这个方程，得
$x_{1}=3k - 2$，$x_{2}=-k + 2$， ……………… (6分)
由题意，得
$\begin{cases}3k - 2＜1\\-k + 2＞2\end{cases}$或$\begin{cases}3k - 2＞2\\-k + 2＜1\end{cases}$， …………… (7分)
解得$k＜0$或$k＞1$.
∴k的取值范围是$k＜0$或$k＞1$. …… (9分)