《2024年轻轻松松九年级数学全一册冀教版》

25. (本小题满分10分)小林准备进行如下实验;把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于$58\ cm^{2}$,小林该怎么剪?
(2)小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于$48\ cm^{2}$.”他的说法对吗? 请说明理由.

答案： 25.解：
(1)设剪成的较短的一段长为$x$ cm，较长的一段长为$(40 - x)$cm，
由题意，得$(\frac{x}{4})^{2}+(\frac{40 - x}{4})^{2}=58$，解得$x_{1}=12$，$x_{2}=28$. ……(3分)
当$x = 12$时，较长的一段长为$40 - 12 = 28$(cm)；
当$x = 28$时，较长的一段长为$40 - 28 = 12＜28$(舍去)，$\therefore$较短的一段长为12 cm，较长的一段长为28 cm. ……(5分)
(2)小峰的说法对.理由：设剪成的较短的一段长为$m$ cm，较长的一段长为$(40 - m)$cm，
由题意，得$(\frac{m}{4})^{2}+(\frac{40 - m}{4})^{2}=48$，变形为$m^{2}-40m + 416 = 0$. ……(8分)
$\because b^{2}-4ac=(-40)^{2}-4\times416=-64＜0$，$\therefore$原方程无解，
$\therefore$小峰的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm². ……(10分)

26. (本小题满分13分)如图J - 1B - 12①,点O在线段AB上,$AO = 2$,$OB = 1$,OC为射线,且$\angle BOC = 60^{\circ}$,动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发,沿射线OC做匀速运动,设运动时间为$t$秒.

图J - 1B - 12
(1)当$t=\frac{1}{2}$秒时,则$OP =$( ),$S_{\triangle ABP}=$_______.
(2)当$\triangle ABP$是直角三角形时,求$t$的值.
(3)如图J - 1B - 12②,当$AP = AB$时,过点A作$AQ// BP$,并使得$\angle QOP=\angle B$,求证:$AQ\cdot BP = 3$.

答案：
26.
(1)解：$1$ $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ ……(2分)
(2)解：①$\because\angle A＜\angle BOC = 60^{\circ}$，$\therefore\angle A$不可能是直角. ……(3分)
②当$\angle ABP = 90^{\circ}$时，如图D-J1-10，
$\because\angle BOC = 60^{\circ}$，$\therefore\angle OPB = 30^{\circ}$.
$\therefore OP = 2OB$，即$2t = 2$. $\therefore t = 1$. ……(5分)

③当$\angle APB = 90^{\circ}$时，如图D-J1-11，作$PD\perp AB$，垂足为点$D$，则$\angle ADP=\angle PDB = 90^{\circ}$.
在$Rt\triangle POD$中，$\because\angle POD = 60^{\circ}$，$\therefore\angle OPD = 30^{\circ}$.
$\because OP = 2t$，$\therefore OD = t$，$PD=\sqrt{3}t$，$AD = 2 + t$，$BD = 1 - t$($\triangle BOP$是锐角三角形). …(6分)
$\therefore BP^{2}=BD^{2}+PD^{2}=(1 - t)^{2}+3t^{2}$，$AP^{2}=AD^{2}+PD^{2}=(2 + t)^{2}+3t^{2}$.
$\because BP^{2}+AP^{2}=AB^{2}$，$\therefore(1 - t)^{2}+3t^{2}+(2 + t)^{2}+3t^{2}=9$，即$4t^{2}+t - 2 = 0$.
解得$t_{1}=\frac{-1+\sqrt{33}}{8}$，$t_{2}=\frac{-1-\sqrt{33}}{8}$(舍去).
……(9分)
(3)证明：$\because AP = AB$，$\therefore\angle APB=\angle B$.
如图D-J1-12，作$OE// AP$，交$BP$于点$E$，
$\therefore\angle OEB=\angle APB=\angle B$.
$\because AQ// BP$，$\therefore\angle QAB+\angle B = 180^{\circ}$.
又$\because\angle 3+\angle OEB = 180^{\circ}$，$\therefore\angle 3=\angle QAB$.
又$\because\angle AOC=\angle 2+\angle B=\angle 1+\angle QOP$，$\angle B=\angle QOP$，$\therefore\angle 1=\angle 2$.
在$\triangle QAO$和$\triangle OEP$中，$\because\angle 3=\angle QAO$，$\angle 1=\angle 2$， ……(11分)
$\therefore\triangle QAO\sim\triangle OEP$. $\therefore\frac{AQ}{EO}=\frac{AO}{EP}$，
即$AQ\cdot EP = EO\cdot AO$.
$\because OE// AP$，$\therefore\triangle OBE\sim\triangle ABP$.
$\therefore\frac{OE}{AP}=\frac{BE}{BP}=\frac{BO}{BA}=\frac{1}{3}$.
$\therefore OE=\frac{1}{3}AP = 1$，$BP=\frac{3}{2}EP$.
$\therefore AQ\cdot BP = AQ\cdot\frac{3}{2}EP=\frac{3}{2}AQ\cdot EP=\frac{3}{2}AO\cdot EO=\frac{3}{2}\times2\times1 = 3$. ……(13分)