《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

11. [湖南株洲中考]某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l₁于点A，BE与水平线l₂的夹角为α(0≤α≤90°)，EF//l₁//l₂，若AB=1.4 m，BE=2 m，车辆的高度为h(单位：m)，不考虑闸口与车辆的宽度：
①当α=90°时，h小于3.3 m的车辆均可以通过该闸口；
②当α=45°时，h等于2.9 m的车辆不可以通过该闸口；
③当α=60°时，h等于3.1 m的车辆不可以通过该闸口.
则上述说法正确的有( )

A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个

答案： C　[解析]由题知,限高曲臂道路闸口高度为(1.4 + 2$\sin\alpha$)m，①当$\alpha = 90^{\circ}$时，h＜(1.4 + 2)m，即h ＜ 3.4 m即可通过该闸口，故①正确；②当$\alpha = 45^{\circ}$时，h＜(1.4 + 2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$)m，即h ＜ (1.4+$\sqrt{2}$)m即可通过该闸口，
∵2.9＞1.4+$\sqrt{2}$，
∴h等于2.9 m的车辆不可以通过该闸口，故②正确；③当$\alpha = 60^{\circ}$时，h＜(1.4 + 2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$)m，即h ＜ (1.4+$\sqrt{3}$)m即可通过该闸口，
∵3.1＜1.4+$\sqrt{3}$，
∴h等于3.1 m的车辆可以通过该闸口，故③不正确。

12. [浙江杭州拱墅区月考]如图，有一个弓形的暗礁区，弓形所含的圆周角∠C=50°，船在航行时，为保证不进入暗礁区，则船S到两个灯塔A，B的张角∠ASB应满足的条件是( )

A. sin∠ASB＞sin25°
B. sin∠ASB＞sin50°
C. sin∠ASB＞sin55°
D. cos∠ASB＞cos50°

答案：
D　[解析]如图,设AS交$\overset{\frown}{ACB}$于点E,连接EB.
∵AB = AB，
∴∠AEB = ∠C = 50°，而∠AEB是△SEB的一个外角，由∠AEB＞∠S，即当∠S＜50°时船不进入暗礁区.
∴船到两个灯塔的张角∠ASB应满足的条件是∠ASB＜50°.
∴$\cos\angle ASB＞\cos50^{\circ}$。

13. [广西贵港港南区期末]在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠A为锐角，则cosA的值等于( )
A. $\frac{4}{5}$
B. $\frac{\sqrt{7}}{4}$
C. $\frac{4}{5}$或$\frac{\sqrt{7}}{4}$
D. $\frac{4}{5}$或$\frac{2\sqrt{7}}{7}$

答案： C　[解析]当△ABC为直角三角形时，存在两种情况：①当AB为斜边时，∠C = 90°，
∵AC = 8，BC = 6，
∴AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}} = 10$，
∴$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$；②当AC为斜边时，∠B = 90°，由勾股定理，得AB = $\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{8^{2}-6^{2}}=2\sqrt{7}$，
∴$\cos A=\frac{AB}{AC}=\frac{2\sqrt{7}}{8}=\frac{\sqrt{7}}{4}$；综上所述，$\cos A$的值等于$\frac{4}{5}$或$\frac{\sqrt{7}}{4}$。

14. [黑龙江哈尔滨香坊区模拟]如图，一渔船以每小时32 n mile的速度向正北航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°方向上，半小时后航行到B处看到灯塔S在船的北偏东60°，若渔船继续向正北航行到C处，此时渔船在灯塔S的正西方向，此时灯塔S与渔船的距离为( )

A. 16 n mile
B. 18 n mile
C. 8 n mile
D. 8$\sqrt{3}$ n mile

答案： D　[解析]由题意，得AB = 32×$\frac{1}{2}=16$(n mile)，∠ACS = 90°，
∵∠A = 30°，∠CBS = 60°，
∴∠ASB = ∠CBS - ∠A = 30°，
∴∠ASB = ∠A，
∴BS = AB = 16 n mile，在Rt△CBS中，$\sin\angle CBS=\frac{CS}{BS}$，
∴CS = BS·$\sin\angle CBS = 16×\frac{\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$(n mile)。

15. [四川德阳中考]如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=10$\sqrt{2}$ m，背水坡CD的坡度i=1:$\sqrt{3}$，则背水坡的坡长CD为( )

A. 20 m
B. 20$\sqrt{3}$ m
C. 10 m
D. 20$\sqrt{2}$ m

答案： A　[解析]由题意，得四边形AEFD是矩形.
∴DF = AE，
∵迎水坡AB的坡角$\alpha = 45^{\circ}$，坡长AB = 10$\sqrt{2}$m，
∴DF = AE = 10$\sqrt{2}$×$\sin45^{\circ}=10$(m)，
∵背水坡CD的坡度i = 1:$\sqrt{3}$，
∴i = $\tan C=\frac{DF}{CF}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠C = 30°，
∴CD = 2DF = 20 m。

16. [山东日照中考]如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30 m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20 m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i=1:$\sqrt{3}$，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是( )

A. (10$\sqrt{3}$+20) m
B. (10$\sqrt{3}$+10) m
C. 20$\sqrt{3}$ m
D. 40 m

答案：
A　[解析]如图,过点D作DF⊥BC于点F，DH⊥AB于点H.
∴DH = BF，BH = DF，
∵斜坡的斜面坡度i = 1:$\sqrt{3}$，
∴$\frac{DF}{CF}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，设DF = x m(x＞0)，则CF = $\sqrt{3}x$m，
∴CD = $\sqrt{DF^{2}+CF^{2}} = 2x = 20$m，
∴x = 10，
∴BH = DF = 10 m，CF = 10$\sqrt{3}$m，
∴DH = BF = (10$\sqrt{3}$+30)m，
∵∠ADH = 30°，
∴AH = $\frac{\sqrt{3}}{3}DH=\frac{\sqrt{3}}{3}\times(10$\sqrt{3}$+30)=(10 + 10$\sqrt{3}$)m，∴AB = AH + BH = (20 + 10$\sqrt{3}$)m。