《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

1. $\cos45^{\circ}$的值是（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. 1

答案： B [解析] $\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. 李红同学遇到了这样一道题：$\sqrt{3}\tan(\alpha + 20^{\circ}) = 1$，你猜想锐角$\alpha$的度数应是（ ）
A. $40^{\circ}$
B. $30^{\circ}$
C. $20^{\circ}$
D. $10^{\circ}$

答案： D [解析] $\because\sqrt{3}\tan(\alpha + 20^{\circ}) = 1$，$\therefore\tan(\alpha + 20^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\because\alpha$为锐角，$\therefore\alpha + 20^{\circ}=30^{\circ}$，$\alpha = 10^{\circ}$.

3. 在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 3$，$AB = 6$，则$\angle A$的度数为（ ）
A. $30^{\circ}$
B. $40^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $60^{\circ}$

答案：
A [解析] 如图， $\because\angle C = 90^{\circ}$，$BC = 3$，$AB = 6$，$\therefore\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$，$\therefore\angle A = 30^{\circ}$.

4. 若$0^{\circ}＜\theta＜90^{\circ}$，且$\left|\sin\theta - \frac{1}{2}\right| + \left(\cos\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 0$，则$\tan\theta$的值等于（ ）
A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： B [解析] $\because\left|\sin\theta-\frac{1}{2}\right|+\left(\cos\theta-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 0$，$\therefore\sin\theta-\frac{1}{2}=0$，$\cos\theta-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$，$\therefore\theta = 30^{\circ}$，$\therefore\tan\theta=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

5. 比较大小：$\cos30^{\circ}$_______$\frac{1}{2}$.

答案： ＞ [解析] $\because\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore\cos30^{\circ}＞\frac{1}{2}$.

6. $\sqrt{3}\tan60^{\circ}$的值等于_______.

答案： 3 [解析] $\sqrt{3}\tan60^{\circ}=\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3$.

7. 在$\triangle ABC$中，$\angle C$，$\angle B$为锐角，且满足$\left|\sin C - \frac{\sqrt{2}}{2}\right| + (\sqrt{3} - \tan B)^2 = 0$，则$\angle A$的度数为_______.

答案： $75^{\circ}$ [解析] $\because\left|\sin C-\frac{\sqrt{2}}{2}\right|+(\sqrt{3}-\tan B)^2 = 0$，$\therefore\sin C=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan B=\sqrt{3}$，$\therefore\angle C = 45^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，$\therefore\angle A$的度数为$180^{\circ}-45^{\circ}-60^{\circ}=75^{\circ}$.

8. 计算：$\sin60^{\circ}\cdot\tan30^{\circ} + \frac{\cos60^{\circ}}{\tan45^{\circ}}$.

答案： [解析] 原式$=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{1}{2}\div1=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$.

9. 计算：$2\cos45^{\circ} - \frac{2}{3}\tan30^{\circ}\cos30^{\circ} + \sin^{2}60^{\circ}$.

答案： [解析] 原式$=2\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{2}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\sqrt{2}-\frac{1}{3}+\frac{3}{4}=\sqrt{2}+\frac{5}{12}$.

10. [河南南阳邓州期末]$\sin45^{\circ}$的相反数是（ ）
A. -1
B. $-\sqrt{2}$
C. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： C [解析] $\because\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\therefore\sin45^{\circ}$的相反数是$-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

11. [河北邢台信都区期中]若数轴上$\tan30^{\circ}$的值用一个点表示，这个点的位置可能落在段（ ）

A. ①
B. ②
C. ③
D. ④

答案： A [解析] $\because\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$1＜3＜4$，$\therefore1＜\sqrt{3}＜2$，$\therefore\frac{1}{3}＜\frac{\sqrt{3}}{3}＜\frac{2}{3}$，$\therefore0.3＜\frac{1}{3}＜\frac{\sqrt{3}}{3}＜\frac{2}{3}＜0.67＜0.7$，$\therefore$点的位置可能落在①段.

12. [河南洛阳伊川期末]若$(\sqrt{3}\tan A - 3)^2 + |2\cos B - \sqrt{3}| = 0$，则$\triangle ABC$的形状是（ ）
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 含有$60^{\circ}$角的任意三角形
D. 等腰直角三角形

答案： A [解析] $\because(\sqrt{3}\tan A - 3)^2+\left|2\cos B-\sqrt{3}\right| = 0$，$\therefore\sqrt{3}\tan A = 3$，$2\cos B=\sqrt{3}$， 即$\tan A=\sqrt{3}$，$\cos B=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\therefore\angle A = 60^{\circ}$，$\angle B = 30^{\circ}$，$\therefore\angle C = 90^{\circ}$，$\therefore\triangle ABC$的形状是直角三角形.

13. [河北邯郸永年区期中]下列计算错误的有（ ）
①$\sin60^{\circ} - \sin30^{\circ} = \sin30^{\circ}$；②$\sin^{2}45^{\circ} + \cos^{2}45^{\circ} = 1$；
③$(\tan60^{\circ})^2 = \frac{1}{3}$；④$\tan30^{\circ} = \frac{\cos30^{\circ}}{\sin30^{\circ}}$.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： C [解析] ①$\sin60^{\circ}-\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$，$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$， 错误；②$\sin^{2}45^{\circ}+\cos^{2}45^{\circ}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$， 正确；③$(\tan60^{\circ})^2=(\sqrt{3})^2 = 3$， 错误；④$\tan30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\cos30^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$， 错误.

14. [河南驻马店沁阳模拟]若规定$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$，则$\sin15^{\circ} =$（ ）
A. $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$
C. $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

答案： D [解析] 由题意， 得$\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.