《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

1. [山东新泰宫里中学期末]如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限的图象经过点B，若OA² - AB² = 12，则k的值为（ ）

A. 4
B. 6
C. 8
D. 12

答案： B [解析]由题意可知，$OC = AC$，$BD = DA$，$OA=\sqrt{2}OC$，$AB=\sqrt{2}BD$，点$B$的横坐标为$OC + BD$，纵坐标为$AC - AD = OC - BD$，$\because OA^{2}-AB^{2}=12$，$(\sqrt{2}OC)^{2}-(\sqrt{2}BD)^{2}=12$，$\therefore OC^{2}-BD^{2}=6$，即$(OC + BD)(OC - BD)=6$，$\because$在第一象限，$\therefore k = 6$.

2. [江苏无锡新吴区二模]如图，A为反比例函数y=$\frac{k}{x}$(其中x＞0)图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB = 6.连接OA，AB，且OA = AB.过点B作BC⊥OB，交反比例函数y=$\frac{k}{x}$(其中x＞0)的图象于点C，连接OC交AB于点D，S_{△OBC}=6，则AB的长度为 __________.

答案： 5 [解析]在题图上，过点$A$作$AH\perp x$轴于点$H$，则$S_{\triangle AOH}=\frac{1}{2}|k|$，$\because BC\perp x$轴，$\therefore S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}|k| = 6$，$\therefore S_{\triangle AOH}=\frac{1}{2}AH\cdot OH = 6$，$\because OA = AB$，$AH\perp OB$，$OB = 6$，$\therefore OH = HB = 3$，$\therefore\frac{1}{2}\times3\times AH = 6$，$\therefore AH = 4$，$\therefore AB=\sqrt{AH^{2}+HB^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$.

3. [云南昆明模拟]如图，等腰直角三角形ABC位于第一象限，AB = AC = 2，直角顶点A在直线y = x上，其中点A的横坐标为1，且两条直角边AB，AC分别平行于x轴、y轴，若双曲线y=$\frac{k}{x}$(k≠0)与△ABC有交点，则k的取值范围是 __________.

答案：
$1\leqslant k\leqslant4$ [解析]如图，设直线$y = x$与$BC$交于点$E$，分别过$A$，$E$两点作$x$轴的垂线，垂足为$D$，$F$，$EF$交$AB$于$M$，$\because$点$A$的横坐标为$1$，点$A$在直线$y = x$上，$\therefore A(1,1)$，又$\because AB = AC = 2$，$AB// x$轴，$AC// y$轴，$\therefore B(3,1)$，$C(1,3)$，又$\because\triangle ABC$为等腰直角三角形，$\therefore BC$的中点坐标为$(\frac{3 + 1}{2},\frac{1+3}{2})$，即为$(2,2)$，$\because$点$(2,2)$满足直线$y = x$，$\therefore$点$(2,2)$即为点$E$坐标，点$E$坐标为$(2,2)$，$\therefore$当双曲线与$\triangle ABC$有唯一交点时，$k = OD\times AD = 1$，或$k = OF\times EF = 4$，$\therefore k$的取值范围是$1\leqslant k\leqslant4$.

4. [辽宁锦州中考]如图，平行四边形ABCD的顶点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$(x＞0)的图象上，点B在y轴上，点C，点D在x轴上，AD与y轴交于点E.若S_{△BCE}=3，则k的值为（ ）

A. $\frac{3}{2}$
B. 3
C. 6
D. 12

答案：
C [解析]如图，作$AF\perp x$轴于点$F$，$\because S_{\triangle BCE}=3$，$\therefore S_{平行四边形ABCD}=2S_{\triangle BCE}=6$，$\therefore S_{矩形ABOF}=S_{平行四边形ABCD}=6$，$\therefore|k| = 6$，$\because$图象在第一象限，$\therefore k = 6$.

5. [黑龙江双鸭山集贤模拟]如图，正方形ABCD的边AB在x轴的正半轴上，C(2，1)，D(1，1).反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象与边BC交于点E，与边CD交于点F.已知BE:CE = 3:1，则DF:FC等于（ ）

A. 4:1
B. 3:1
C. 2:1
D. 1:1

答案： D [解析] $\because$四边形$ABCD$为正方形，且$C(2,1)$，$D(1,1)$，$\therefore A(1,0)$，$B(2,0)$，$BC = DC = 1$.$\because BE:CE = 3:1$，$\therefore BE=\frac{3}{4}$，$\therefore$点$E$坐标为$(2,\frac{3}{4})$，把点$E$坐标$(2,\frac{3}{4})$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$k = 2\times\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$.又$\because$点$F$的纵坐标为$1$，且点$F$在反比例函数$y=\frac{\frac{3}{2}}{x}$的图象上，$\therefore$点$F$的横坐标为$\frac{3}{2}$，$\therefore DF=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$，$CF = 2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$，$\therefore DF:CF = 1:1$.

6. [山东济南中考]如图，点A是双曲线y=-$\frac{1}{x}$在第二象限的分支上的任意一点，点B，C，D分别是点A关于x轴、原点、y轴的对称点，则四边形ABCD的面积是 __________.

答案： 4 [解析]设$A(x,y)$，$\because$点$A$是双曲线$y =-\frac{1}{x}$在第二象限的分支上的任意一点，点$B$，$C$，$D$分别是点$A$关于$x$轴、原点、$y$轴的对称点，$\therefore D(-x,y)$，$C(-x,-y)$，$B(x,-y)$，$\therefore$四边形$ABCD$为矩形，$\therefore$四边形$ABCD$的面积为$AB\times AD = 2y\times2x = 4|xy|$，又$\because$点$A$在双曲线$y =-\frac{1}{x}$上，$\therefore xy=-1$，$\therefore$四边形$ABCD$的面积为$4\times|xy| = 4$.