《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

15. [陕西中考]小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度.他站在湖边看台上,清晰地看到小山倒映在平静的湖水中,如图所示,他在点O处测得小山顶端的仰角为45°,小山顶端A在水中倒影A'的俯角为60°.已知:点O到湖面的距离OD=3 m,OD⊥DB,AB⊥DB,A,B,A'三点共线,A'B=AB,求小山的高度AB.(光线的折射忽略不计;结果保留根号)

答案：
[解析]如图，过点O作OE⊥AB于点E，则BE = OD = 3 m，设AE = x m，则AB = (x + 3) m，A'E = (x + 6) m，
∵∠AOE = 45°，
∴OE = AE = x m，
∵∠A'OE = 60°，
∴tan60° = $\frac{A'E}{OE}$ = $\sqrt{3}$，即$\frac{x + 6}{x}$ = $\sqrt{3}$，解得x = $3 + 3\sqrt{3}$，
∴AE = $(3 + 3\sqrt{3})$ m，
∴AB = AE + BE = $(6 + 3\sqrt{3})$ m.

16. [山东枣庄中考]如图,运载火箭从地面O处发射,当火箭到达点A时,地面D处的雷达站测得AD=4 000 m,仰角为30°,3 s后,火箭直线上升到点B处,此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.O,C,D在同一直线上,已知C,D两处相距460 m,求火箭从A到B处的平均速度.(结果保留整数,参考数据:$\sqrt{3}\approx1.732$,$\sqrt{2}\approx1.414$)

答案： [解析]由题意，得AD = 4000 m，∠ADO = 30°，CD = 460 m，∠BCO = 45°，在Rt△AOD中，
∵AD = 4000 m，∠ADO = 30°，
∴OA = $\frac{1}{2}$AD = 2000 m，OD = $\frac{\sqrt{3}}{2}$AD = $2000\sqrt{3}$ m，在Rt△BOC中，∠BCO = 45°，
∴OB = OC = OD - CD = $(2000\sqrt{3}-460)$ m，
∴AB = OB - OA = $2000\sqrt{3}-460 - 2000$ ≈ 1004(m)，
∴火箭从A到B处的平均速度为1004÷3≈335(m/s)，即火箭从A到B处的平均速度约为335 m/s.

17. [山东滨州三模]关于三角函数有如下的公式：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ①
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ②
tan(α+β)=$\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1 - \tan\alpha\cdot\tan\beta}$③
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值,如：
tan105°=tan(45°+60°)
=$\frac{\tan45°+\tan60°}{1 - \tan45°\cdot\tan60°}=\frac{1+\sqrt{3}}{1 - 1\times\sqrt{3}}$
=$\frac{(1+\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1+\sqrt{3})}$
=-(2+$\sqrt{3}$).
根据上面的知识,你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图,直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°,底端C点的俯角β=75°,此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42 m,求建筑物CD的高.

答案： [解析]由于α = 60°，β = 75°，BC = 42，则AB = BC·tanβ = 42×tan75° = 42×$\frac{tan45°+tan30°}{1 - tan45°·tan30°}$ = 42×$\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}$ = $42\sqrt{3}+84$(m)，A，D垂直距离为BC·tanα = $42\sqrt{3}$ m，
∴CD = AB - $42\sqrt{3}$ = 84(m).即建筑物CD的高为84 m.