《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

1. [河北保定定州期末]如图，Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8，E是边AC上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为点D，则AD的长是（ ）

A. 16
B. $\frac{25}{4}$
C. 6
D. 4

答案： D [解析]
∵ED⊥AB，
∴∠ADE = 90°，
∵∠C = 90°，
∴∠ADE = ∠C，又
∵∠A = ∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴AD:AC = AE:AB，
∵AB = 10，AC = 8，AE = 5，
∴AD:8 = 5:10，
∴AD = 4.

2. [浙江杭州余杭区模拟]如图，在△ABC中，∠ABC = ∠C，将△ABC绕点B逆时针旋转得△DBE，点E在AC上，若ED = 3，EC = 1，则EB =（ ）

A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{3}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
D. 2

答案： A [解析] 由旋转，可得△ABC≌△DBE，
∴BC = BE，DE = AC = 3，
∴∠C = ∠BEC，又
∵∠ABC = ∠C，
∴∠ABC = ∠BEC，又
∵∠C = ∠C，
∴△ABC∽△BEC，
∴$\frac{EC}{BC}=\frac{BC}{AC}$，即$BC^{2}=CE×CA$，
∴$BC = \sqrt{1×3}=\sqrt{3}$，
∴$BE=\sqrt{3}$.

3. [辽宁沈阳和平区期末]如图，在△ABC中，BC = 12 cm，高AD = 6 cm，正方形EFGH的四个顶点均在△ABC的边上，则正方形EFGH的边长为（ ）

A. 2 cm
B. 2.5 cm
C. 3 cm
D. 4 cm

答案：
D [解析] 如图，设正方形的边长为$x$ cm，AD与EH的交点为P，
∵四边形EFGH是正方形，
∴AP = AD - PD=(6 - x) cm，
∵EH//BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AD}=\frac{EH}{BC}$，
∴$\frac{6 - x}{6}=\frac{x}{12}$，解得$x = 4$.

4. [江苏苏州模拟]如图，点A，D在以BC为直径的⊙O上，且D是$\overset{\frown}{AC}$的中点，AC与BD交于点E.若AE = 3，CD = 2$\sqrt{5}$，则CE的长为________.

答案：
5 [解析] 如图，延长BA，CD交于点G，
∵D是$\widehat{AC}$的中点，
∴∠ACD = ∠ABD = ∠CBD，又
∵BC为直径，
∴∠BDC = 90°，
∴△BCG为等腰三角形，
∴D为CG的中点，
∴CG = 2CD = 4$\sqrt{5}$，在Rt△CDE和Rt△CAG中，
∵∠CDE = ∠CAG = 90°，∠ECD = ∠GCA，
∴△CDE∽△CAG，
∴$\frac{CE}{CG}=\frac{CD}{CA}$，即$\frac{CE}{4\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{CE + 3}$，解得CE = 5(负值舍去)，故CE的长为5.

5. [河南南阳淅川期末]如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，且$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$.
（1）求∠ACB的大小；
（2）求证：BC² = BD·AB.

答案： [解析]
(1)
∵CD是边AB上的高，
∴CD⊥AB，
∴∠CDA = ∠BDC = 90°，又$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴△CDA∽△BDC，
∴∠A = ∠DCB，又∠A + ∠ACD = 90°，
∴∠DCB + ∠ACD = 90°，即∠ACB = 90°；
(2)
∵∠B = ∠B，∠BCA = ∠BDC = 90°，
∴△BCA∽△BDC.
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}$，
∴$BC^{2}=BD·AB$.

6. [广东佛山顺德区期末]如图，在四边形ABCD中，∠B = 90°，对角线AC平分∠BAD，AC² = AB·AD.
（1）求证：AC⊥CD；
（2）若点E是AD的中点，连接CE，∠AEC = 134°，求∠BCD的度数.

答案： [解析]
(1)
∵$AC^{2}=AB·AD$，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC = ∠CAD，
∴△BAC∽△CAD，
∴∠B = ∠ACD = 90°，
∴AC⊥CD；
(2)
∵∠ACD = 90°，AE = ED，
∴EC = EA = ED，
∴∠D = ∠ECD，
∵∠AEC = ∠D + ∠ECD = 134°，
∴∠ECD = ∠D = 67°，
∵△ABC∽△ACD，
∴∠ACB = ∠D = 67°，
∴∠BCD = 67° + 90° = 157°.