《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

7. [山东泰安岱岳区三模]如图，直线y₁=$\frac{1}{4}$x + 1与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$(x＞0)的图象交于点P，作PB⊥x轴于点B，且AC = BC.
(1)求点P的坐标和反比例函数y₂的解析式；
(2)请直接写出y₁＞y₂时，x的取值范围；
(3)反比例函数y₂的图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由.

答案：
[解析]
(1)$\because$直线$y_{1}=\frac{1}{4}x + 1$与$x$轴交于点$A$，与$y$轴交于点$C$，$\therefore A(-4,0)$，$C(0,1)$.又$\because AC = BC$，$CO\perp AB$，$\therefore OA = OB = 4$，即点$P$的横坐标为$x = 4$，代入$y_{1}=\frac{1}{4}x + 1$得$y = 2$，$\therefore$点$P$的坐标为$(4,2)$.将$P(4,2)$代入$y_{2}=\frac{m}{x}$，得$m = 8$，即反比例函数的解析式为$y_{2}=\frac{8}{x}$；
(2)当$x＞4$时，$y_{1}＞y_{2}$；
(3)存在.假设存在这样的点$D$，使四边形$BCPD$为菱形.如图，连接$DC$，与$PB$交于点$E$，连接$DP$，$DB$.

$\because$四边形$BCPD$是菱形，$\therefore CE = DE = 4$，$CD\perp BP$，$\therefore CD = 8$，即点$D$的横坐标为$8$，又$\because C(0,1)$，$\therefore$点$D$的坐标为$(8,1)$，将$x = 8$代入反比例函数解析式$y_{2}=\frac{8}{x}$，得$y_{2}=\frac{8}{8}=1$，即反比例函数的图象上存在点$D$使四边形$BCPD$是菱形，此时点$D$的坐标是$(8,1)$.

8. [陕西西安碑林区期末]在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为(1，0)，顶点A的坐标为(0，2)，顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C'的坐标为（ ）

A. ($\frac{3}{2}$,0)
B. (2,0)
C. ($\frac{5}{2}$,0)
D. (3,0)

答案：
C [解析]如图，过点$B$作$BD\perp x$轴于点$D$，

$\because\angle ACO+\angle BCD = 90^{\circ}$，$\angle OAC+\angle ACO = 90^{\circ}$，$\therefore\angle OAC=\angle BCD$.在$\triangle ACO$和$\triangle CBD$中，$\begin{cases}\angle OAC=\angle BCD,\\\angle AOC=\angle CDB,\\AC = BC,\end{cases}$ $\therefore\triangle ACO\cong\triangle CBD(AAS)$，$\therefore OC = BD$，$OA = CD$.$\because A(0,2)$，$C(1,0)$，$\therefore OD = 3$，$BD = 1$，$\therefore B(3,1)$.设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$，将$B(3,1)$代入$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$得$k = 3$，$\therefore y=\frac{3}{x}$.把$y = 2$代入$y=\frac{3}{x}$，得$x=\frac{3}{2}$，$\therefore$当顶点$A$恰好落在该双曲线上时，点$A$向右平移了$\frac{3}{2}$个单位长度，$\therefore$点$C$也向右平移$\frac{3}{2}$个单位长度，此时点$C$的对应点$C'$的坐标为$(\frac{5}{2},0)$.

9. [山东济宁泗水模拟]如图，在平面直角坐标系中，边长为5的正方形ABCD斜靠在y轴上，顶点A(3,0)，反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象经过点C，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转一定角度后，得正方形AB₁C₁D₁，且B₁恰好落在x轴的正半轴上，此时边B₁C₁交反比例函数图象于点E，则点E的纵坐标是（ ）

A. $\frac{5}{2}$
B. 3
C. $\frac{7}{2}$
D. 4

答案：
C [解析]如图，$\because$在$Rt\triangle AOD$中，$OA = 3$，$AD = 5$，$\therefore OD=\sqrt{AD^{2}-OA^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$.过点$C$作$CF\perp y$轴于点$F$，$\because\angle CDF+\angle ADO = 90^{\circ}$，$\angle CDF+\angle DCF = 90^{\circ}$，$\therefore\angle DCF=\angle ADO$，同理$\angle CDF=\angle DAO$，在$\triangle CDF$和$\triangle DAO$中，$\begin{cases}\angle DCF=\angle ADO,\\CD = DA,\\\angle CDF=\angle DAO,\end{cases}$ $\therefore\triangle CDF\cong\triangle DAO(ASA)$，$\therefore CF = OD = 4$，$DF = OA = 3$，$\therefore C(4,7)$.$\because$反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象经过点$C$，$\therefore k = 4\times7 = 28$，$\therefore$反比例函数的解析式为$y=\frac{28}{x}$.$\because OB_{1}=OA + A_{1}B_{1}=3 + 5 = 8$，$\therefore$点$E$的横坐标为$8$，$\therefore y=\frac{28}{8}=\frac{7}{2}$，$\therefore$点$E$的纵坐标是$\frac{7}{2}$.

10. [浙江宁波江东区模拟]如图，点A为双曲线y=$\frac{2}{x}$(x＞0)上一点，AB//x轴且交直线y=-x于点B.
(1)若点B的纵坐标为2，比较线段AB和OB的大小关系；
(2)当点A在双曲线上运动时，代数式“AB² - OA²”的值会发生变化吗？请你作出判断，并说明理由.

答案： [解析]
(1)$\because$点$A$为双曲线上一点，点$B$的纵坐标为$2$，$AB// x$轴，$\therefore A(1,2)$，$B(-2,2)$，$\therefore AB = 3$，$OB=\sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}=2\sqrt{2}$.$\because3＞2\sqrt{2}$，$\therefore AB＞OB$；
(2)不会.理由：设$A(a,b)$，$\because A$为双曲线$y=\frac{2}{x}(x＞0)$上一点，$\therefore ab = 2$.$\because AB$平行于$x$轴且交直线$y=-x$于点$B$，$\therefore$点$B$纵坐标为$b$，$\therefore B(-b,b)$，$\therefore AB^{2}-OA^{2}=(a + b)^{2}-(a^{2}+b^{2})=2ab = 4$，$\therefore$代数式“$AB^{2}-OA^{2}$”的值恒定不变.