《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

18. [抽象能力][山东聊城中考]时代中学组织学生进行红色研学活动.学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A处向正南方向走300 m到达革命纪念碑B处，再从B处向正东方向走到党史纪念馆C处，然后从C处向北偏西37°方向走200 m到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处.已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离(精确到1 m).(参考数据:sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14)

答案：
18.[解析]过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，如图。由题意，得∠CDF = 37°，CD = 200m，在Rt△CDF中，sin∠CDF = $\frac{CF}{CD}$ = sin37°≈0.60，cos∠CDF = $\frac{DF}{CD}$ = cos37°≈0.80，
∴CF≈200×0.60 = 120(m)，DF≈200×0.80 = 160(m)，
∵AB⊥BC，DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠B = ∠DFB = ∠DEB = 90°，
∴四边形BFDE是矩形，
∴BF = DE，BE = DF = 160m，
∴AE = AB - BE≈300 - 160 = 140(m)，在Rt△ADE中，tan∠DAE = $\frac{DE}{AE}$ = tan65°≈2.14，
∴DE≈140×2.14 = 299.6(m)，
∴BF = DE = 299.6m，
∴BC = BF + CF = 299.6 + 120≈420(m)，即革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为420m。

19. [湖南永州中考]已知锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，边角总满足关系式:$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.
(1)如图1，若a = 6，∠B = 45°，∠C = 75°，求b的值；
(2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD(如图2所示)，若CD⊥AB，AC = 14 m，AB = 10 m，sin∠ACB = $\frac{5\sqrt{3}}{14}$，求景观桥CD的长度.

答案： 19.[解析]
(1)
∵∠B = 45°，∠C = 75°，
∴∠A = 180° - ∠B - ∠C = 60°，
∵$\frac{a}{sinA}$ = $\frac{b}{sinB}$ = $\frac{c}{sinC}$，
∴$\frac{6}{sin60°}$ = $\frac{b}{sin45°}$，
∴b = 2$\sqrt{6}$；
(2)
∵$\frac{AB}{sin∠ACB}$ = $\frac{AC}{sinB}$，
∴$\frac{10}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}$ = $\frac{14}{sinB}$，
∴sinB = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠B = 60°，
∴tanB = $\frac{CD}{BD}$ = $\sqrt{3}$，
∴BD = $\frac{\sqrt{3}}{3}$CD，
∵AC² = CD² + AD²，
∴196 = CD² + (10 - $\frac{\sqrt{3}}{3}$CD)²，
∴CD = 8$\sqrt{3}$(负值已舍去)，
∴CD的长度为8$\sqrt{3}$m。