《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

1. [河北唐山滦州期末]如图，在△ABC中，∠B = 90°，AB = 6 cm，BC = 8 cm.点P从点A开始沿边AB向点B以每秒1 cm的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以每秒2 cm的速度移动，点P，Q分别从点A，B同时出发，且当一点到达终点时，另一点也停止运动.
(1)经过多少秒，可使△PBQ的面积等于8 cm²？
(2)经过多少秒，△ABC与△PBQ相似？
(3)线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由.

答案： [解析]
(1)设经过ts,△PBQ的面积等于8cm²,由题意，得AP=tcm,
BQ=2tcm,则BP=(6−t)cm,
∵△PBQ的面积等于8cm²,
∴$\frac{1}{2}$×2tx(6−t)=8,解得t1=2,t=4,
∴经过2s或4s,△PBQ的面积等于8cm²;
(2)设经过ms,△ABC与△PBQ 相似,当△ABC∽△PBQ时,
　$\frac{AB}{PB}$=$\frac{BC}{BQ}$,即$\frac{6}{6−m}$=$\frac{8}{2m}$,
　解得m=$\frac{12}{5}$;当△ABC∽△QBP时,$\frac{AB}{BQ}$=$\frac{BC}{BP}$,即$\frac{6}{2m}$=$\frac{8}{6−m}$,
　解得m=$\frac{18}{11}$,
∴经过$\frac{12}{5}$s或$\frac{18}{11}$
　△ABC与△PBQ相似;
(3)线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分，理由如下:假设经过ns线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分,则$\frac{1}{2}$x2nx(6−n)=$\frac{1}{2}$x 6×8x$\frac{1}{2}$,整理,得n²−6n+12=0，=
　36−4x12=−12＜0,
∴原方程无解，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分.

2. [山东济宁期末]如图，在矩形ABCD中，AB = 3，BC = 4，点P在BC边上运动，连接DP，过点A作AE⊥DP，垂足为点E.
(1)设DP = y，AE = x，求y与x之间的函数关系式；
(2)写出自变量x的取值范围，并求出y的最大值.

答案：
[解析]
(1)
∵在矩形ABCD中，
AB=3,BC=4,..DC=AB=3,AD=
BC=4,∠C=90°,AD//BC,
∴∠ADE=
　∠DPCAE⊥DP'
∴∠AED=90°,
∴∠ADE=∠DPC,∠AED=∠C,
∴△ADE∽△DPC,AD:DP=AE:DC,
∵DP=y,AE=x,AD=4,DC=3,
　..4ty=x:3，y=$\frac{12}{x}$...y与x之间的函数关系式为y=$\frac{12}{x}$
(2)在Rt△BCD中,BC=4,DC=3,由勾股定理得BD=5,
　当点P与点B重合时x最短,
　此时x=$\frac{3×4}{5}$=$\frac{12}{5}$;
　当点P与点C重合时x最长,为4.如图,
∴自变量x的取值范围为$\frac{12}{5}$≤x≤4,
∵在第一象限内,y随x的增大而减小,
∴当x=$\frac{12}{5}$时,y有最大值，最大值为5.
∴自变量x的取值范围为$\frac{12}{5}$≤x≤4,y的最大值为5.
　　　

3. [广东茂名高州期末]如图，矩形ABCD中，长AB和宽AD的长度分别是方程x² - 18x + 80 = 0的两个根，点E为AD上一个动点，将△CDE沿CE折叠得到△CFE，点D的对应点为F.
(1)求AB与AD的长；
(2)当点F恰好落在AB边上时，
①求DE的长；
②动点M从点F出发沿FC向点C匀速运动，速度为每秒2个单位长度，同时动点N以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿CB匀速向点B运动，当点M到达点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t s，当以M，N，C为顶点的三角形与△AEF相似时，求t的值.

答案： [解析]
(1)
∵长AB和宽AD的长度分别是方程x²−18x+80=0的两个根,可得(x−10)(x−8)=0,解得x;=
　10,x=8,即AB=10,AD=8;
(2)①由折叠,可得CF=CD=AB=10,而BC=AD=8,..BF=6,..AF=10−6=4,设DE=EF=x,则AE=8−x,
　在Rt△AEF中,AE²+AF²=EF²,
∴(8−x)²+4²=x²,解得x=5,..DE=5;②
∵∠EFA+∠BFC=90°,∠BCF+∠BFC=90°,
∴∠EFA=∠BCF,
　由①可得,AE=3,AF=4,EF=5,
∵CN=t,FM=2t,..MC=10−2t,
　当∠MNC=∠EAF=90°时,
　△AEF∽△NMC,
∴$\frac{CN}{AF}$=$\frac{CM}{EF}$,即$\frac{t}{4}$=$\frac{10−2t}{5}$,解得t=$\frac{40}{13}$;
　当∠NMC=∠EAF=90°时,
　△AEF∽△MNC,
∴$\frac{CM}{AF}$=$\frac{CN}{EF}$,即$\frac{10−2t}{4}$=$\frac{t}{5}$,解得t=$\frac{25}{7}$,
　综上所述，当=$\frac{40}{13}$或$\frac{25}{7}$时,以M,N,
C为顶点的三角形与△AEF相似