《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

17. 反比例函数$y=\frac{k - 3}{x}$的图象位于第二、四象限，则$k$的取值范围是_____.

答案： $k\lt3$ ［解析］$\because$反比例函数$y=\frac{k - 3}{x}$的图象位于第二、四象限，$\therefore k - 3\lt0$，解得$k\lt3$．

18. 如图，在$\triangle ABC$中，三个顶点的坐标分别是$A(-2,2)$，$B(-4,1)$，$C(-1,-1)$.以点$C$为位似中心，在$x$轴下方作$\triangle ABC$的位似图形$\triangle A'B'C'$，并把$\triangle ABC$的边长放大为原来的2倍，那么点$A'$的坐标为_______.

答案： $(1,-7)$ ［解析］把$\triangle ABC$先向右平移$1$个单位长度，再向上平移$1$个单位得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$，此时点$C$平移到原点，点$A$平移后的对应点$A_{1}$的坐标为$(-1,3)$，以原点为位似中心，把$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$的边长放大为原来的$2$倍，在位似中心异侧的对应点的坐标为$(2,-6)$，然后把点$(2,-6)$先向左平移$1$个单位长度，再向下平移$1$个单位长度，则点$A'$的坐标为$(1,-7)$．

19. 如图，在$\square ABCD$中，$AC$，$BD$相交于点$O$，$E$是$OA$的中点，连接$BE$并延长交$AD$于点$F$.
(1)$\frac{FD}{AF}=$_________；
(2)若$\triangle AEF$的面积为4，则$\square ABCD$的面积为______.

答案： （1）$2$ （2）$96$
［解析］（1）$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore OA = OC$，$AD// BC$，$AD = BC$，$\because$点$E$是$OA$的中点，$\therefore CE = 3AE$，$\because AF// BC$，$\therefore\triangle AEF\sim\triangle CEB$，$\therefore\frac{BC}{FA}=\frac{CE}{AE}=3$，$\therefore BC = 3AF$，$\therefore FD = 2AF$，$\therefore\frac{FD}{AF}=2$；
（2）$\because\triangle AEF\sim\triangle CEB$，$\therefore\frac{S_{\triangle AEF}}{S_{\triangle CEB}}=(\frac{1}{3})^{2}=\frac{1}{9}$，$\therefore\triangle CEB$的面积$=9\times4 = 36$，$\because CE = 3AE$，$\therefore S_{\triangle ABE}=\frac{1}{3}S_{\triangle CEB}=12$，$\therefore S_{\triangle ABC}=12 + 36 = 48$，$\therefore$平行四边形$ABCD$的面积$=2S_{\triangle ABC}=2\times48 = 96$．

三、解答题（共66分）
20. （5分）[浙江杭州采荷中学期中]如图，直线$l_{1}// l_{2}// l_{3}$，若$AB = 6$，$BC = 10$，$EF = 9$，求$DE$的长.

答案： ［解析］$\because l_{1}// l_{2}// l_{3}$，$AB = 6$，$BC = 10$，$\therefore\frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，$\because EF = 9$，$\therefore DE=\frac{27}{5}$．

21. （8分）[河南南阳邓州期末]如图，已知$CD$是$Rt\triangle ABC$斜边$AB$上的中线，过点$D$作$AC$的平行线，过点$C$作$CD$的垂线，两线相交于点$E$.
（1）求证：$\triangle ABC\backsim\triangle DEC$；
（2）若$AB = 8$，$CE = 3$，求$\triangle ABC$的周长.

答案： ［解析］（1）$\because DC\perp CE$，$\therefore\angle DCE = 90^{\circ}$，$\therefore\angle ACB=\angle DCE$．$\because AC// DE$，$\therefore\angle ACD=\angle CDE$，又$\because CD$是$Rt\triangle ABC$斜边$AB$上的中线，$\therefore CD = AD$，$\therefore\angle ACD=\angle A$，$\therefore\angle A=\angle CDE$，$\therefore\triangle ABC\sim\triangle DEC$；
（2）$\because CD$是$Rt\triangle ABC$斜边$AB$上的中线，$\therefore CD=\frac{1}{2}AB = 4$，在$Rt\triangle DCE$中，$DE=\sqrt{CD^{2}+CE^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5$，$\because\triangle ABC\sim\triangle DEC$，$\therefore\frac{AC}{CD}=\frac{BC}{EC}=\frac{AB}{DE}$，即$\frac{AC}{4}=\frac{BC}{3}=\frac{8}{5}$，$\therefore AC=\frac{32}{5}$，$BC=\frac{24}{5}$，$\therefore\triangle ABC$的周长$=\frac{32}{5}+\frac{24}{5}+8=\frac{96}{5}$．

22. （8分）[上海普陀区期中]如图，在平面直角坐标系$xOy$中，反比例函数$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$的图象与正比例函数$y = 2x$的图象相交于横坐标为1的点$A$.
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）如图，已知$B$是正比例函数图象在第一象限内的一点，过点$B$作$BC\perp x$轴，垂足为点$C$，$BC$与反比例函数图象交于点$D$，如果$AB = AC$，求点$D$的坐标.

答案： ［解析］（1）把$x = 1$代入$y = 2x$，得$y = 2$，$\therefore$点$A$的坐标为$(1,2)$，把点$A$的坐标代入$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$），得$k = 1\times2 = 2$，即反比例函数的解析式为$y=\frac{2}{x}$；
（2）如图，过点$A$作$AE\perp BC$于点$E$．$\because BC\perp x$轴，$\therefore AE// x$轴，$\because A(1,2)$，$\therefore CE = 2$，$\because AC = AB$，$AE\perp BC$，$\therefore CE = BE = 2$，$\therefore$点$B$的纵坐标为$4$，把$y = 4$代入$y = 2x$，得$4 = 2x$，解得$x = 2$，即点$B$的坐标为$(2,4)$，$\because$点$D$的横坐标为$2$，把$x = 2$代入$y=\frac{2}{x}$，得$y = 1$，$\therefore D(2,1)$．

23. （9分）[安徽合肥包河区二模]如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，已知格点正方形$ABCD$及格点$O$.
（1）将正方形$ABCD$向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到正方形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$；
（2）以$O$为位似中心，在点$O$的同侧画出正方形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的位似图形$A'B'C'D'$，使位似比为$1:2$；
（3）除了点$O$外，正方形$A'B'C'D'$和正方形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$还有位似中心吗？如果有，请找出来.

答案： ［解析］（1）如图，正方形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$即为所求；
（2）如图，正方形$A'B'C'D'$即为所求；
（3）除了点$O$外，正方形$A'B'C'D'$和正方形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$还有位似中心，如图，点$P$为位似中心．