《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

7. 如图,直线$y = mx$与双曲线$y = \frac{k}{x}$交于$A$,$B$两点,过点$A$作$AM\perp x$轴,垂足为$M$,连接$BM$,若$S_{\triangle ABM}=2$,则$k$的


A. 2
B. $m - 2$
C. $m$
D. 4

答案： A [解析]设$A(x,y)$，$\because$直线$y = mx$与双曲线$y = \frac{k}{x}$交于 A，B 两点，$\therefore B(-x,-y)$，$\therefore S_{\triangle BOM}=\frac{1}{2}|xy|$，$S_{\triangle AOM}=\frac{1}{2}|xy|$，$\therefore S_{\triangle BOM}=S_{\triangle AOM}$，$\therefore S_{\triangle ABM}=S_{\triangle AOM}+S_{\triangle BOM}=2S_{\triangle AOM}=2$，$\therefore S_{\triangle AOM}=\frac{1}{2}|k| = 1$，则$k = \pm2$.又$\because$双曲线位于第一、三象限，$\therefore k ＞ 0$，$\therefore k = 2$.

8. [河南模拟]如图,点$A$在反比例函数$y = -\frac{4}{x}$($x＜0$)的图象上,点$B$在反比例函数$y = \frac{k}{x}$($x＜0$)的图象上,且$AB// y$轴,$BC\perp AB$于点$B$,交$y$轴于点$C$.若$\triangle ABC$的面积为$3$,则$k$的值为 ( )
A. -3
B. -2
C. 2
D. 3

答案：
C [解析]如图，连接 OA，OB，设 AB 交 x 轴于点 D.$\because AB// y$轴，$\therefore S_{\triangle AOB}=S_{\triangle ABC}$，即$S_{\triangle AOD}+S_{\triangle BOD}=S_{\triangle ABC}=3$，$\because$点 A 在反比例函数$y = -\frac{4}{x}(x ＜ 0)$的图象上，点 B 在反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＜ 0)$的图象上，$\therefore\frac{1}{2}\times|-4|+\frac{1}{2}|k| = 3$，$\therefore|k| = 2$.又$\because$反比例函数的图象$y = \frac{k}{x}(x ＜ 0)$位于第三象限，$\therefore k = 2$.
　　　　　

9. [河北保定高阳模拟]如图是反比例函数$y = \frac{3}{x}$和$y = -\frac{7}{x}$在$x$轴上方的图象,$x$轴的平行线$AB$分别与这两个函数图象相交于点$A$,$B$,点$P$在$x$轴上.则点$P$从左到右的运动过程中,$\triangle APB$的面积是 ( )

A. 10
B. 4
C. 5
D. 先变大再变小

答案： C [解析]在题图上，连接 OA，OB.$\because x$轴的平行线 AB 分别与这两个函数图象相交于点 A，B.$\therefore AB\perp y$轴，设 AB 交 y 轴于 C.$\because$点 A，B 在反比例函数$y = \frac{3}{x}$和$y = -\frac{7}{x}$在 x 轴上方的图象上，$\therefore S_{\triangle AOB}=S_{\triangle COB}+S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}\times(7 + 3)=5$.

10. [云南大理期末]如图,点$A$在反比例函数$y_1 = \frac{18}{x}$($x＞0$)的图象上,过点$A$作$AB\perp x$轴,垂足为$B$,交反比例函数$y_2 = \frac{6}{x}$($x＞0$)的图象于点$C$,$P$为$y$轴上一点,连接$PA$,$PC$,则$\triangle APC$的面积为 ________.

答案： 6 [解析]在题图上，连接 OA 和 OC，$\because$点 P 在 y 轴上，$AB// y$轴，$\therefore\triangle AOC$和$\triangle APC$面积相等，$\because$点 A 在反比例函数$y_1 = \frac{18}{x}(x ＞ 0)$的图象上，点 C 在反比例函数$y_2 = \frac{6}{x}(x ＞ 0)$的图象上，$AB\perp x$轴，$\therefore S_{\triangle AOC}=S_{\triangle OAB}-S_{\triangle OBC}=6$，$\therefore\triangle APC$的面积为 6.

11. [陕西模拟]如图,点$A$和点$B$分别在反比例函数$y = -\frac{2}{x}$($x＜0$)和$y = \frac{k}{x}$($x＞0$)的图象上.分别过点$A$和点$B$作$x$轴的垂线,垂足分别为点$C$、点$D$.点$P$为$y$轴上一点,连接$PA$,$PB$,$PC$,$PD$,若$S_{\triangle APC}:S_{\triangle BPD}=2:5$,则$k$的值为 ________.

答案：
5 [解析]如图，连接 OA 和 OB.$\because$点 P 在 y 轴上，$AC// y$轴，$BD// y$轴，$\therefore\triangle AOC$和$\triangle APC$面积相等，$\triangle BOD$和$\triangle BPD$面积相等，$\because S_{\triangle APC}:S_{\triangle BPD}=2:5$，$\therefore S_{\triangle AOC}:S_{\triangle BOD}=2:5$，$\because$点 A 和点 B 分别在反比例函数$y = -\frac{2}{x}(x ＜ 0)$和$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象上，$\therefore S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}\times|-2| = 1$，$S_{\triangle BOD}=\frac{1}{2}|k|$，$\therefore1:\frac{1}{2}|k| = 2:5$，$\therefore|k| = 5$，$\because y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象在第一象限，$\therefore k = 5$.
　　　

12. [河北承德模拟]如图,点$A(\frac{1}{3},3)$在双曲线$y = \frac{k}{x}$上,点$B$在双曲线$y = \frac{3}{x}$上,且$AB// x$轴,$C$,$D$在$x$轴上,若四边形$ABCD$为矩形,求它的面积.

答案： [解析]$\because A(\frac{1}{3},3)$，$AB// x$轴，点 B 在双曲线$y = \frac{3}{x}$上，$\therefore B(1,3)$，$\therefore AB = 1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，$AD = 3$，$\therefore S_{矩形 ABCD}=AB\cdot AD=\frac{2}{3}\times3 = 2$.