《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

10. 如图，△ABC中，∠ABC = 60°，∠ACB = 45°，AC = 2$\sqrt{6}$，则AB =________.

答案：
10.4 [解析]如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中，
∵AC = 2$\sqrt{6}$，∠C = 45°，
∴AD = AC·sinC = 2$\sqrt{6}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{3}$，
在Rt△ABD中，
∵∠ABC = 60°，AD = 2$\sqrt{3}$，
∴AB=$\frac{AD}{sin∠ABC}=\frac{2\sqrt{3}}{sin60^{\circ}} = 4$.

11. [云南模拟]如图，∠ABC = 30°，边BA上有一点D，DB = 4，以点D为圆心，以DB长为半径作弧交BC于点E，则BE = （ ）

A. 4$\sqrt{3}$
B. 4
C. 2$\sqrt{3}$
D. 8

答案： 11.A [解析]在题图上连接DE，过点D作DF⊥BC于点F，在Rt△BDF中，∠ABC = 30°，BD = 4，
∵cos∠ABC=$\frac{BF}{BD}$，
∴BF = BD·cos∠ABC = 4×$\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，依题意，DB = DE，
∴△BDE是等腰三角形，
∵DF⊥BC，
∴BF = EF=$\frac{1}{2}BE$（等腰三角形三线合一），
∴BE = 2BF = 4$\sqrt{3}$.

12. [陕西师大附中模拟]如图，在△ABC中，AB = 10，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$，D为BC边上一点，且AD = AC，若DC = 4，则BD的值为 （ ）

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5

答案：
12.C [解析]如图，过点A作AE⊥BC，垂足为点E.
∵AD = AC，AE⊥BC，
∴DE = CE=$\frac{1}{2}DC = 2$，在Rt△ABE中，
∵AB = 10，cos∠ABC=$\frac{3}{5}=\frac{BE}{AB}$，
∴BE = 6.
∴BD = BE - DE = 6 - 2 = 4.

13. [河北邢台期中]如图，在平面直角坐标系中，第一象限内射线OA与x轴正半轴的夹角为α，点P在射线OA上，若sinα=$\frac{3}{5}$，则点P的坐标可能是 （ ）

A. (3,5)
B. (5,3)
C. (4,3)
D. (3,4)

答案： 13.C [解析]在题图上过点P作PB⊥x轴于点B，
∵sinα=$\frac{PB}{OP}=\frac{3}{5}$，
∴可假设PB = 3，OP = 5，
∴OB=$\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$，
∴点P的坐标可能是(4，3).

14. [福建福州19中月考]如图，在△ABC中，∠A = 30°，tanB=$\frac{3}{4}$，AC = 6$\sqrt{3}$，求AB的长为 _____.

答案：
14.9 + 4$\sqrt{3}$ [解析]如图，过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠A = 30°，AC = 6$\sqrt{3}$，
∴CD=$\frac{1}{2}AC = 3\sqrt{3}$，AD=$\sqrt{3}CD = 9$，
在Rt△BCD中，tanB=$\frac{CD}{BD}=\frac{3}{4}$，
∴BD=$\frac{4}{3}CD = 4\sqrt{3}$，
∴AB = AD + BD = 9 + 4$\sqrt{3}$.

15. [河南洛阳洛宁月考]如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 3，sinA=$\frac{4}{5}$，若E为边BC的中点，则点E到Rt△ABC的中线CD的距离为 _____.

答案：
15.$\frac{6}{5}$ [解析]在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 3，sinA=$\frac{4}{5}$，
∴BC = 4，AB = 5，
∵点D为AB的中点，
∴CD = BD=$\frac{5}{2}$，
∴∠B = ∠DCB，
∵sinB=$\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，
∴sin∠DCB=$\frac{3}{5}$，
如图，过点E作EF⊥CD，交CD于点F，
∵sin∠DCB=$\frac{EF}{CE}$，点E为BC的中点，BC = 4，
∴CE = 2，
∴$\frac{EF}{2}=\frac{3}{5}$，解得EF=$\frac{6}{5}$.

16. [北京人大附中月考]如图，△ABC的顶点A，B，C都在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则AC的长为 ________，sin∠ABD的值为 ________.

答案：
16.5 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ [解析]如图，
∵正方形网格边长为1，
∴BC = 5，AE = 3，BE = 1，CE = 4.
∴AC=$\sqrt{AE^{2}+CE^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，AB=$\sqrt{AE^{2}+BE^{2}}=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$.
∴AC = BC = 5.
∴∠ABC = ∠BAC.
∵BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠AEB = ∠ADB = 90°.
在△ABD和△BAE中，
$\begin{cases}∠ADB = ∠BEA\\∠BAD = ∠ABE\\AB = BA\end{cases}$
∴△ABD≌△BAE（AAS）.
∴∠ABD = ∠BAE.
∴sin∠ABD = sin∠BAE=$\frac{BE}{AB}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$.

17. 重点[河北石家庄41中期中]如图，已知Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 6.
(1)若∠A = 60°，求BC的长度；
(2)若sinA=$\frac{4}{5}$，求AB的长度.

答案： 17.[解析]
(1)
∵∠A = 60°，
∴tan60°=$\frac{BC}{AC}=\frac{BC}{6}=\sqrt{3}$，
∴BC = 6$\sqrt{3}$；
(2)
∵sinA=$\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，
∴设BC = 4x(x＞0)，则AB = 5x，根据勾股定理，得(4x)² + 6²=(5x)²，
解得x = 2，
∴AB = 5x = 10.