《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

15. [安徽中考]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点.
（1）在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A₁B₁（点A，B的对应点分别为A₁，B₁），画出线段A₁B₁；
（2）将线段A₁B₁绕点B₁逆时针旋转90°得到线段A₂B₁，画出线段A₂B₁；
（3）以A，A₁，B₁，A₂为顶点的四边形AA₁B₁A₂的面积是 个平方单位.

答案：
[解析]
(1)如图所示,线段A₁B₁即为所求;
(2)如图所示,线段A₂B₁即为所求;

(3)20 提示:由图可得,四边形AA₁B₁A₂为正方形,
∴四边形AA₁B₁A₂的面积是$(\sqrt{2^{2}+4^{2}})^{2}=(\sqrt{20})^{2}=20$.

16. 如图1，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后解答相应问题.
画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′//EC，交OA于点C′，作E′D′//ED，交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形.
（1）求证：△C′D′E′是等边三角形；
（2）如图2，求作：内接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，且DE∶EF = 1∶2.

答案：
[解析]
(1)
∵E'C'//EC,E'D'//ED,
∴△OCE∽△OC'E',△ODE∽△OD'E',
∴$CE:C'E'=OE:OE'$,$DE:D'E'=OE:OE'$,$∠CEO = ∠C'E'O$,$∠DEO = ∠D'E'O$,
∴$CE:C'E'=DE:D'E'$,$∠CED = ∠C'E'D'$,
∴△CDE∽△C'D'E'.
∵△CDE是等边三角形,
∴△C'D'E'是等边三角形;
(2)如图,矩形DEFG即为所求,画法:①在△ABC内画矩形D'E'F'G',使点D'在AB上,点G'在AC上,D'G'//BC,且D'E':D'G' = 1:2;②连接AE'并延长,交BC于点E,连接AF'并延长交BC于点F,过点E作ED//E'D'交AB于点D,过点F作FG//F'G',交AC于点G;③连接DG,则四边形DEFG是△ABC的内接矩形.