《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

23. [四川乐山中考]如图，E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F，AB=3，AD=2，CE=1，求DF的长度.

答案： [解析] $\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形， $\therefore DC = AB = 3$，$\angle ADC = \angle C = 90^{\circ}$， $\because CE = 1$，$\therefore DE = \sqrt{DC^{2} + CE^{2}} = \sqrt{10}$， $\because AF \perp DE$，$\therefore \angle AFD = 90^{\circ} = \angle C$，$\angle ADF + \angle DAF = 90^{\circ}$. 又 $\because \angle ADF + \angle EDC = 90^{\circ}$， $\therefore \angle EDC = \angle DAF$，$\therefore \triangle EDC \sim \triangle DAF$， $\therefore \frac{DE}{AD} = \frac{CE}{FD}$，即 $\frac{\sqrt{10}}{2} = \frac{1}{FD}$， $\therefore FD = \frac{\sqrt{10}}{5}$， 即 $DF$ 的长度为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$. 

24. [江苏无锡中考]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B.
(1)求证：∠PBA=∠OBC；
(2)若∠PBA=20°，∠ACD=40°，求证：△OAB∽△CDE.

答案： 24.[解析]
(1)AC是⊙0的直径,
∴∠ABC=90°,
∵PB切OO于点B,
∴∠PB0=90°,
∴∠PBO−∠ABO=
　∠ABC−ABO,即∠PBA=∠OBC;
(2)由
(1)知,∠PBA=∠0BC=∠ACB,
∵∠PBA=20°,
∴∠OBC=∠ACB=20°,
∴∠A0B=∠ACB+∠0BC=20°+20°=
　40°,
∵∠ACD=40°,.:.∠A0B=∠ACD,
∵BC=BC,
∴∠CDE=∠CDB=∠BAC=
　∠BAO,
∴△OAB∽△CDE.

25. [河南南阳邓州期中]如图，已知在△ABC中，AB=2，BC=5，且∠ABC=2∠C，为了求边AC的长，聪明的小亮想出了一个好办法，将边BC反向延长至点D，使DB=AB，连接AD，从而小亮发现图中存在一对相似三角形，问题便迎刃而解了!
(1)请你找出图中存在的一对相似三角形，并进行证明；
(2)求边AC的长.

答案： 25.[解析]
(1)△DBA∽△DAC.
　证明:
∵DB=AB,
∴∠D=∠DAB=$\frac{1}{2}$∠ABC,
∵∠ABC=2∠C,
∴∠D=∠DAB=∠C,
∵∠D=∠D,∠DAB=∠C,
∴△DBA∽△DAC;
(2)AB=2,BC=5,DB=AB，DB=2,
∴CD=BC+DB=7,
∵△DBA∽△DAC,..DB:DA=DA:DC,2:DA=DA:7,解得DA=$\sqrt{14}$(负值已舍去),
　由
(1)得∠D=∠CDA=AC,
　..AC=　$\sqrt{14}$

26. [河北石家庄高邑期中]如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10 cm，BC=8 cm.点M从点C出发，以2 cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1 cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，已知M，N同时出发，且当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动.
(1)经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的$\frac{2}{5}$？
(2)经过几秒，△MCN与△ABC相似？

答案：  [解析]
(1)设经过 $x\ s$ 后，$\triangle MCN$ 的面积等于 $\triangle ABC$ 面积的 $\frac{2}{5}$. $\frac{1}{2} \times 2x(8 - x) = \frac{1}{2} \times 8 \times 10 \times \frac{2}{5}$. 解得 $x_{1} = x_{2} = 4$. 答：经过 4 s 后，$\triangle MCN$ 的面积等于 $\triangle ABC$ 面积的 $\frac{2}{5}$；
(2)设经过 $t\ s$，$\triangle MCN$ 与 $\triangle ABC$ 相似.$\because \angle C = \angle C$，$\therefore$ 可分为两种情况： ① $\frac{MC}{BC} = \frac{NC}{AC}$，即 $\frac{2t}{8} = \frac{8 - t}{10}$，解得 $t = \frac{16}{7}$；② $\frac{MC}{AC} = \frac{NC}{BC}$，即 $\frac{2t}{10} = \frac{8 - t}{8}$， 解得 $t = \frac{40}{13}$. 答：经过 $\frac{16}{7}\ s$ 或 $\frac{40}{13}\ s$，$\triangle MCN$ 与 $\triangle ABC$ 相似.