《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

8. [四川乐山期末]如图，在$\triangle ABC$和$\triangle DEC$中，$\angle A=\angle D$，$\angle BCE=\angle ACD$.
（1）求证：$\triangle ABC\sim\triangle DEC$；
（2）若$S_{\triangle ABC}:S_{\triangle DEC}=4:9$，$BC = 6$，求$EC$的长.

答案： [解析]
(1)
∵∠BCE = ∠ACD，
∴∠BCE + ∠ACE = ∠ACD + ∠ACE，
∴∠DCE = ∠ACB，
又
∵∠A = ∠D，
∴△ABC∽△DEC；
(2)
∵△ABC∽△DEC，
∴$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEC}}=(\frac{CB}{CE})^2=\frac{4}{9}$，
又
∵BC = 6，
∴CE = 9.

9. [海南海口七校联考]如图，点$D$是$\triangle ABC$的边$AB$上的一点，连接$DC$，则下列条件中不能判定$\triangle ABC\sim\triangle ACD$的是（ ）

A. $\angle B=\angle ACD$
B. $\angle ADC=\angle ACB$
C. $\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BC}$
D. $\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$

答案： C [解析]
∵∠DAC = ∠CAB，
∴当∠ACD = ∠B或∠ADC = ∠ACB时，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似判定△ACD∽△ABC；
当$\frac{AC}{AD}=\frac{AB}{AC}$时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定△ACD∽△ABC.

10. 如图，$D$是$\triangle ABC$的边$BC$上一点，$AB = 4$，$AD = 2$，$\angle DAC=\angle B$，如果$\triangle ABD$的面积为$15$，那么$\triangle ACD$的面积为________.

答案： 5 [解析]
∵∠DAC = ∠B，∠C = ∠C，
∴△ACD∽△BCA，
∴$\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle BCA}}=(\frac{AD}{AB})^2=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{1}{3}$，
∴$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{3}\times S_{\triangle ABD}=5$.

11. [陕西宝鸡渭滨区一模]如图，在矩形$ABCD$中，$BC = 8$，对角线$AC$与$BD$相交于点$O$，过点$D$作$AC$的垂线$DE$，交$AC$于点$E$，$AE = 3CE$.则$DE$的值为（ ）

A. 4
B. $2\sqrt{3}$
C. $4\sqrt{3}$
D. 2

答案： A [解析]
∵DE⊥AC，
∴∠AED = ∠CED = 90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC = ∠ADE + ∠CDE = 90°，AD = BC = 8，
∵∠DAC + ∠ADE = 90°，
∴∠DAC = ∠CDE，
∴△ADE∽△DCE，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{DE}{EC}$，
∵AE = 3CE，
∴$DE^{2}=3CE^{2}$，在Rt△ADE中，
$AD^{2}=AE^{2}+DE^{2}$，即64 = 9$CE^{2}$+3$CE^{2}$，解得$CE^{2}=\frac{16}{3}$，
∴$DE^{2}=3CE^{2}=16$，
∴DE = 4(负值舍去).

12. [吉林长春农安期末]如图，$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD\perp AB$于点$D$.
（1）求证：$AC^{2}=AB\cdot AD$；
（2）如果$BD = 5$，$AC = 6$，求$CD$的长.

答案： [解析]
(1)
∵CD⊥AB，
∴∠ADC = 90°，
∵∠DAC = ∠CAB，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴AC:AB = AD:AC，
∴$AC^{2}=AB·AD$；
(2)
∵$AC^{2}=AB·AD$，
∴$6^{2}=(AD + 5)·AD$，
整理，得$AD^{2}+5AD - 36 = 0$，解得AD = 4(负值舍去)，
在Rt△ACD中，由勾股定理，得
$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{6^{2}-4^{2}}=2\sqrt{5}$.

13. [北京海淀区期末]如图，已知$\angle B=\angle C = 90^{\circ}$，点$E$在$BC$上，且满足$AB = 4$，$BE = 2$，$CE = 6$，$CD = 3$，求证：$AE\perp DE$.

答案： [解析]
∵AB = 4，BE = 2，CE = 6，CD = 3，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{BE}{CD}$，
∵∠B = ∠C = 90°，
∴△ABE∽△ECD，
∴∠A = ∠CED，
∵∠B = 90°，
∴∠A + ∠AEB = 90°，
∴∠CED + ∠AEB = 90°，
∴∠AED = 180° - ∠AEB - ∠CED = 90°，
∴AE⊥DE.

14. [江西景德镇模拟]如图，已知正方形$ABCD$的边长为$8$，点$E$为$BC$的中点，连接$AE$，过$E$作$EF\perp AE$交$CD$于点$F$，连接$AF$，求$AF$的长.

答案： [解析]
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD = CD = BC = 8，∠D = ∠C = ∠B = 90°，
∵E为BC的中点，
∴BE = EC = 4，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF = 90°，
∴∠AEB + ∠FEC = 90°，
∵∠EAB + ∠AEB = 90°，
∴∠BAE = ∠FEC.
∴△ABE∽△ECF，
∴$\frac{AB}{EC}=\frac{BE}{CF}$，
∴$\frac{8}{4}=\frac{4}{CF}$，
∴CF = 2，
∴DF = CD - CF = 8 - 2 = 6，
∴$AF=\sqrt{AD^{2}+DF^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$.