《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

16. 抽象能力 [云南昆明中考]在正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图,△ABC是格点三角形,在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形ADE(不含△ABC),使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形ADE只算一个),这样的格点三角形一共有 ( )

A. 4个
B. 5个
C. 6个
D. 7个

答案：
C ［解析］如图，使得$\triangle ADE\backsim\triangle ABC$的格点三角形一共有$6$个.

17. [江苏连云港中考]求证:三边成比例的两个三角形相似.如图,已知在△ABC和△A'B'C'中,$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}$.求证:△ABC∽△A'B'C'.

答案：
［解析］如图，在线段$AB$(或它的延长线)上截取$AD = A'B'$，过点$D$作$DE// BC$，交$AC$于点$E$，$\because DE// BC$，$\therefore\triangle ADE\backsim\triangle ABC$，$\therefore\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE}$，又$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{CA}{C'A'}$，$AD = A'B'$，$\therefore\frac{BC}{DE}=\frac{BC}{B'C'}$，$\frac{AC}{AE}=\frac{AC}{A'C'}$，$\therefore DE = B'C'$，$AE = A'C'$，在$\triangle ADE$和$\triangle A'B'C'$中，$\begin{cases}AD = A'B'\\DE = B'C'\\AE = A'C'\end{cases}$，$\therefore\triangle ADE\cong\triangle A'B'C'(\text{SSS})$，$\therefore\triangle ABC\backsim\triangle A'B'C'$.

18. [甘肃天水秦安模拟]如图,已知矩形ABCD的边长AB = 3 cm,BC = 6 cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1 cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2 cm/s的速度向A点匀速运动,问:
(1)经过多长时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的$\frac{1}{9}$?
(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.

答案： ［解析］
(1)设经过$x\ s$时，$\triangle AMN$的面积等于矩形$ABCD$面积的$\frac{1}{9}$，则有$\frac{1}{2}(6 - 2x)x=\frac{1}{9}\times3\times6$，即$x^{2}-3x + 2 = 0$，解方程，得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$，经检验$x_{1}=1$，$x_{2}=2$符合题意，$\therefore$经过$1\ s$或$2\ s$时，$\triangle AMN$的面积等于矩形$ABCD$面积的$\frac{1}{9}$；
(2)存在.假设经过$t\ s$时，以$A$，$M$，$N$为顶点的三角形与$\triangle ACD$相似.由矩形$ABCD$，得$\angle CDA=\angle MAN = 90^{\circ}$，$\therefore\frac{AM}{AN}=\frac{DC}{DA}$或$\frac{AM}{AN}=\frac{DA}{DC}$，即$\frac{t}{6 - 2t}=\frac{3}{6}$①或$\frac{t}{6 - 2t}=\frac{6}{3}$②，解①得$t=\frac{3}{2}$，解②得$t=\frac{12}{5}$，经检验$t=\frac{3}{2}$或$t=\frac{12}{5}$都符合题意，$\therefore$当$t=\frac{3}{2}$或$\frac{12}{5}$时，以$A$，$M$，$N$为顶点的三角形与$\triangle ACD$相似.