《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

7. [山东聊城一模]如图，在□ABCD中，F是AD上一点，且AF = 2FD，连接BF并延长交CD的延长线于点G，则$\frac{BE}{EG}$的值为（ ）

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{3}{4}$

答案： C [解析]
∵AF = 2FD，
∴$AF=\frac{2}{3}AD$.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，AD = CB，
∴△AEF∽△CEB，△ABE∽△CGE，$AF=\frac{2}{3}BC$，
∴$\frac{AF}{BC}=\frac{AE}{CE}$，$\frac{BE}{EG}=\frac{AE}{CE}$，
∴$\frac{BE}{EG}=\frac{AF}{BC}=\frac{2}{3}$.

8. [山东济南高新区一模]如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，AD与BE相交于点F，若E为AC的中点，BD∶DC = 2∶3，则AF∶FD的值是________.

答案： $\frac{5}{2}$ [解析] 在题图上过点D作DH//AC交BE于点H，
∴△DHF∽△AEF，△BDH∽△BCE，
∴$\frac{DH}{AE}=\frac{DF}{AF}$，$\frac{DH}{CE}=\frac{BD}{BC}$，
∵E为AC的中点，
∴CE = AE，
∴$\frac{DF}{AF}=\frac{BD}{BC}$，
∵BD:DC = 2:3，
∴BD:BC = 2:5，
∴DF:AF = 2:5，
∴AF:FD=$\frac{5}{2}$.

9. [河北保定曲阳一中月考]如图，在由边长相等的小等边三角形组成的网格中，A，B，C为格点，则$\frac{AB}{AC}$ =_______.

答案：
$\sqrt{3}$ [解析] 如图，取格点D，连接AD，BD，设小等边三角形的边长为a，则$AD = \sqrt{3}a$，$CD = a$，$DB = 3a$，
∴$AD^{2}=DC·DB$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{CD}{AD}$，
∵∠ADC = ∠ADB，
∴△ADC∽△BDA，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{AD}=\frac{3a}{\sqrt{3}a}=\sqrt{3}$.

10. [陕西模拟]如图，在Rt△AOB中，∠AOB = 90°，顶点A，B分别在反比例函数y = -$\frac{2}{x}$(x ＜ 0)与y = $\frac{4}{x}$(x ＞ 0)的图象上，则$\frac{OA}{OB}$的值为__________.

答案：
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ [解析] 如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，则∠BDO = ∠ACO = 90°，
∵顶点A，B分别在反比例函数$y = -\frac{2}{x}(x ＜ 0)$与$y = \frac{4}{x}(x ＞ 0)$的图象上，
∴$S_{\triangle AOC}=1$，$S_{\triangle BDO}=2$，
∵∠AOB = 90°，
∴∠BOD + ∠DBO = ∠BOD + ∠AOC = 90°，
∴∠DBO = ∠AOC，
∴△BDO∽△OCA，
∴$\frac{S_{\triangle AOC}}{S_{\triangle BDO}}=(\frac{OA}{OB})^{2}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

11. [江苏宿迁二模]如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形ACED的对角线AE分别交BD，CD于点G，H.
证明：DG² = FG·BG.

答案： [解析]
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，
∴△ADG∽△EBG.
∴$\frac{DG}{BG}=\frac{AG}{GE}$.又
∵四边形ACED是平行四边形，
∴AC//DE，
∴△AGF∽△EGD，
∴$\frac{AG}{GE}=\frac{FG}{DG}$.
∴$\frac{DG}{BG}=\frac{FG}{DG}$，
∴$DG^{2}=FG·BG$.

12. [广东梅州五华期末]已知，如图，在□ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连接EM，分别交线段AD于点F，AC于点G.
（1）求证：△AFG∽△CMG；
（2）求证：$\frac{GF}{GM}=\frac{EF}{EM}$.

答案： [解析]
(1)
∵AD//BC，
∴∠FAG = ∠MCG，
∵∠AGF = ∠CGM，
∴△AFG∽△CMG；
(2)
∵△AFG∽△CMG，
∴$\frac{GF}{GM}=\frac{AF}{CM}$，
∵AD//BC，
∴△AEF∽△BEM，
∴$\frac{AF}{BM}=\frac{EF}{EM}$，又
∵CM = BM，
∴$\frac{AF}{CM}=\frac{EF}{EM}$，
∴$\frac{GF}{GM}=\frac{EF}{EM}$.

13. [安徽淮南模拟]已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE//BC，点F在边AB上，BC² = BF·BA，CF与DE相交于点G.
（1）求证：△BCF∽△DGF；
（2）求证：DF·AB = BC·DG；
（3）当点E为AC中点时，求证：2DF·EG = AF·DG.

答案：
[解析]
(1)
∵DE//BC，
∴△BCF∽△DGF；
(2)
∵$BC^{2}=BF·BA$，
∴$BC:BF = BA:BC$，而∠ABC = ∠CBF，
∴△BAC∽△BCF，由
(1)知△BCF∽△DGF，
∴△DGF∽△BAC，
∴DF:BC = DG:AB，
∴DF·AB = BC·DG；
(3)作AH//BC交CF的延长线于点H，如图，
∵DE//BC，
∴AH//DE，
∵点E为AC的中点，
∴AH = 2EG，
∵AH//DG，
∴△AHF∽△DGF，
∴$\frac{AH}{DG}=\frac{AF}{DF}$，
∴$\frac{2EG}{DG}=\frac{AF}{DF}$，即2DF·EG = AF·DG.