《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

9. [湖南衡阳横山期末]某电器中发热材料的电阻$R(k\Omega)$随温度$T(^{\circ}C)$（在一定范围内）变化的大致图象如图所示.通电后，发热材料的温度在由室温$10^{\circ}C$上升到$30^{\circ}C$的过程中，电阻与温度成反比例关系，且在温度达到$30^{\circ}C$时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升$1^{\circ}C$，电阻增加$\frac{4}{15}k\Omega$.
(1)求当$10 \leq T \leq 30$时，$R$和$T$之间的关系式；
(2)求温度在$30^{\circ}C$时电阻$R$的值；并求出$T \geq 30$时，$R$和$T$之间的关系式；
(3)该电器在使用过程中，温度在什么范围内时，发热材料的电阻不超过$6k\Omega$?

答案： [解析]
(1)
∵温度在室温10℃上升到30℃的过程中，电阻与温度成反比例关系，
∴可设R和T之间的关系式为R = $\frac{k}{T}$，将(10,6)代入上式中得6 = $\frac{k}{10}$，k = 60.故当10≤T≤30时，R = $\frac{60}{T}$；
(2)将T = 30代入R = $\frac{60}{T}$中得R = $\frac{60}{30}$，即R = 2.
∴温度在30℃时，电阻R = 2 kΩ.
∵在温度达到30℃时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升1℃，电阻增加$\frac{4}{15}$kΩ，
∴当T≥30时，R = 2 + $\frac{4}{15}$(T - 30) = $\frac{4}{15}$T - 6；
(3)把R = 6代入R = $\frac{4}{15}$T - 6得，T = 45，
∴温度在10℃ - 45℃时，发热材料的电阻不超过6 kΩ.

10. [广西玉林玉州区期中]在同一平面直角坐标系中，函数$y = ax^2 + bx$与$y = \frac{a}{x}$的大致图象可能为（ ）

答案： A　[解析]A.由反比例函数y = $\frac{a}{x}$图象可知，a ＞ 0，由二次函数y = ax² + bx的图象可知a ＞ 0，一致；B.由反比例函数y = $\frac{a}{x}$图象可知a ＞ 0，由二次函数y = ax² + bx的图象可知a ＜ 0，不一致；C.由反比例函数y = $\frac{a}{x}$图象可知a ＜ 0，由二次函数y = ax² + bx的图象可知a ＞ 0，不一致；D.由反比例函数y = $\frac{a}{x}$图象可知a ＞ 0，由二次函数y = ax² + bx的图象可知a ＜ 0，不一致.

11. [河北中考]如图，若抛物线$y = - \frac{1}{2}x^2 + 3$与$x$轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为$k$，则反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象是（ ）

答案： A　[解析]
∵抛物线解析式为y = - $\frac{1}{2}$x² + 3，
∴当y = 0时，x = ±$\sqrt{6}$；当x = 0时，y = 3，
∴抛物线y = - $\frac{1}{2}$x² + 3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)为(-1,1)，(0,1)，(0,2)，(1,1)，(1,2)和(-1,2)，共有6个，
∴反比例函数的解析式为y = $\frac{6}{x}$.

12. [山东济南商河模拟]甲、乙两名实验者在$A,B$两个实验室进行空调制冷后舒适度测试，两人同时启动空调$1h$后，开始记录数据，经过数据分析，甲的舒适指数$W_{甲}$与空调启动时间$x(x \geq 1)$成反比例关系，乙的舒适指数$W_{乙}$与空调启动时间$x(x \geq 1)$的函数关系式为$W_{乙} = -2(x - h)^2 + k$，函数图象如图所示，在$2h$时，乙的舒适指数$W_{乙}$最大.
(1)求$m,k$；
(2)当$W_{乙} = \frac{19}{2}$时，求$W_{乙} - W_{甲}$的较大值；
(3)若规定舒适度小于1时，实验室不适合人长时间逗留，求至少启动空调多少小时后，两个实验室均不适合人长时间逗留.

答案： [解析]
(1)
∵甲的舒适指数W甲与空调启动时间x(x≥1)成反比例关系，且W甲的图象过点(1,m + 4)，(2,m)，
∴由反比例函数的性质可得1×(m + 4) = 2m，解得m = 4，
∴这两点的坐标为(1,8)，(2,4)，可得W甲 = $\frac{8}{x}$.
∵W乙 = -2(x - h)² + k，在2 h时，乙的舒适指数W乙最大，且过点(1,8)，
∴h = 2，
∴ - 2×(1 - 2)² + k = 8，解得k = 10；
(2)由
(1)可得W甲 = $\frac{8}{x}$，W乙 = -2(x - 2)² + 10，当W乙 = $\frac{19}{2}$，即 - 2(x - 2)² + 10 = $\frac{19}{2}$时，解得x₁ = $\frac{3}{2}$，x₂ = $\frac{5}{2}$，当x₁ = $\frac{3}{2}$时，W甲 = $\frac{16}{3}$，则W乙 - W甲 = $\frac{25}{6}$，当x₂ = $\frac{5}{2}$时，W甲 = $\frac{16}{5}$，则W乙 - W甲 = $\frac{63}{10}$，
∵$\frac{63}{10}$ ＞ $\frac{25}{6}$，
∴当W乙 = $\frac{19}{2}$时，W乙 - W甲的较大值为$\frac{63}{10}$；
(3)当W甲 = 1时，得x = 8；当W乙 = 1时，解得x = 2 + $\frac{3\sqrt{2}}{2}$，(x = 2 - $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ ＜ 0舍去)，
∵2 + $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ ＜ 8，
∴至少启动空调8 h后，两个实验室均不适合人长时间逗留.