《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

9. [四川凉山州中考]如图，∠1的正切值为（ ）

A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 3
D. 2

答案：
A [解析] 如图，根据圆周角定理的推论可得∠1 = ∠2.
∵tan∠2 = $\frac{1}{3}$，
∴∠1 的正切值等于 $\frac{1}{3}$。

10. 如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，点D为AB的中点，连接CD.若BC = 4，CD = 3，则sin∠ACD的值为（ ）

A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

答案： A [解析]
∵∠ACB = 90°，点 D 为 AB 的中点，
∴CD = $\frac{1}{2}$AB = AD，
∴AB = 2CD = 6，∠ACD = ∠A，
∵sin∠ACD = sinA = $\frac{BC}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。

11. [四川眉山仁寿期末]如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，D为AB边上的中点，DE⊥AB，AD = 2DE.
（1）求sinB的值；
（2）若CD = $\sqrt{5}$，求CE的值.

答案： [解析]
(1)
∵DE⊥AB，
∴∠ACB = ∠ADE = 90°，
∵∠A = ∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴∠B = ∠AED，
设 DE = x(x ＞ 0)，则 AD = 2DE = 2x，
∴AE = $\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{5}x$，则 sinB = sin∠AED = $\frac{AD}{AE}=\frac{2x}{\sqrt{5}x}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
(2)
∵D 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的中点，
∴AD = BD = CD = $\sqrt{5}$，即 AB = 2$\sqrt{5}$，
则 AC = AB·sinB = 2$\sqrt{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ = 4，
AE = $\frac{AD}{\sin∠AED}=\frac{\sqrt{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=\frac{5}{2}$，
∴CE = AC - AE = 4 - $\frac{5}{2}=\frac{3}{2}$。

12. [江苏东台期末]如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan∠ACB的值为（ ）

A. $\frac{\sqrt{10}}{10}$
B. 3
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

答案：
B [解析] 如图，连接格点 AD，则 AD⊥BC.在 Rt△ADC 中，∠ADC = 90°，
∵AD = 3，CD = 1，
∴tan∠ACB = $\frac{AD}{CD}=\frac{3}{1}=3$。

13. [江苏苏州期末]如图，在△ABC中，AB = AC = 5，BC = 6，则cosB的值为（ ）

A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{3}{5}$
C. $\frac{4}{5}$
D. $\frac{5}{6}$

答案：
B [解析] 如图，过点 A 作 AD⊥BC，垂足为 D，
∵AB = AC = 5，BC = 6，AD⊥BC，
∴BD = $\frac{1}{2}$BC = 3，
在 Rt△ABD 中，cosB = $\frac{BD}{AB}=\frac{3}{5}$。

14. [四川自贡中考]如图，在由10个完全相同的等边三角形构成的网格图中，∠α，∠β如图所示，则cos(α + β)=________.

答案：
$\frac{\sqrt{21}}{7}$ [解析] 给图中相关点标上字母，连接 DE，如图.在△ABC 中，∠ABC = 120°，BA = BC，
∴∠α = 30°.同理，可得∠CDE = ∠CED = 30° = ∠α.
∴∠ADE = α + β.又
∵∠AEC = 60°，
∴∠AED = ∠AEC + ∠CED = 90°.
设等边三角形的边长为 a(a ＞ 0)，则 AE = 2a，DE = 2asin60° = $\sqrt{3}a$，
∴AD = $\sqrt{AE^{2}+DE^{2}}=\sqrt{7}a$，
∴cos(α + β) = cos∠ADE = $\frac{DE}{AD}=\frac{\sqrt{21}}{7}$。

15. [江苏苏州期末]我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角.如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且$\frac{BC}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，则tanA =________.

答案： $\frac{2}{5}$ [解析] 在题图上过点 B 作 BD⊥AC，交 AC 的延长线于点 D，
∵$\frac{BC}{AC}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴设 BC = 2$\sqrt{2}a$(a ＞ 0)，则 AC = 3a，
∵∠A，∠B 互为余角，
∴∠A + ∠B = 45°，
∴∠DCB = ∠A + ∠B = 45°，在 Rt△CDB 中，BD = BC·sin45° = 2$\sqrt{2}a$·$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 2a，CD = BC·cos45° = 2$\sqrt{2}a$·$\frac{\sqrt{2}}{2}$ = 2a，
∵AC = 3a，
∴AD = AC + CD = 3a + 2a = 5a，
在 Rt△ABD 中，
tanA = $\frac{BD}{AD}=\frac{2a}{5a}=\frac{2}{5}$。