《2025年考点集训与满分备考九年级数学全一册下人教版》

9. [浙江杭州模拟]在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC:BC = 1:2，则∠A的正弦值为 （ ）
A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
C. 2
D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

答案： B [解析]设AC = x(x＞0)，则BC = 2x，由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{5}x$，
∴$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{2x}{\sqrt{5}x}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

10. [河南驻马店新蔡模拟]如图，点D(0,3)，O(0,0)，C(4,0)在⊙A上，BD是⊙A的一条弦，则sin∠OBD = （ ）


A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{4}{5}$
D. $\frac{3}{5}$

答案： D [解析]在题图上连接CD，
∵D(0，3)，C(4，0)，
∴OD = 3，OC = 4，
∵∠COD = 90°，
∴$CD=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，
∵∠OBD = ∠OCD，
∴$\sin\angle OBD=\sin\angle OCD=\frac{OD}{CD}=\frac{3}{5}$。

11. [四川达州渠县崇德实验学校模拟]如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD = 2，AC = 3，则sinB的值是______.

答案： $\frac{3}{4}$ [解析]
∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，CD = 2，
∴AB = 2CD = 4，则$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{4}$。

12. 难点[北京门头沟区模拟]如图，A，B，C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长相同，那么∠BAC的正弦值为________.

答案：
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ [解析]连接BC，如图.设小正方形的边长为1，
∵$CB=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$AB=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$，
∴$CB^{2}+CA^{2}=AB^{2}$，
∴△ACB为直角三角形，∠ACB = 90°，
∴$\sin\angle BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

13. 重点[浙江丽水期末]如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 2，AB = 3.
（1）求BC的长；
（2）求sinA的值.

答案： [解析]
(1)在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 2，AB = 3，
∴$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$；
(2)在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 3，$BC=\sqrt{5}$，
∴$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}$。

14. [广西河池中考]在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 5，AC = 12，则sinB的值是 （ ）
A. $\frac{5}{12}$
B. $\frac{12}{5}$
C. $\frac{5}{13}$
D. $\frac{12}{13}$

答案：
D [解析]如图，
∵∠C = 90°，BC = 5，AC = 12，
∴$AB=\sqrt{5^{2}+12^{2}} = 13$，
∴$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{12}{13}$。

15. [云南中考]在△ABC中，∠ABC = 90°.若AC = 100，sinA = $\frac{3}{5}$，则AB的长是 （ ）
A. $\frac{500}{3}$
B. $\frac{503}{3}$
C. 60
D. 80

答案： D [解析]已知$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}$，AC = 100，解得BC = 60，
∴$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}} = 80$。

16. [广西桂林中考]如图，在平面直角坐标系内有一点P(3,4)，连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是 （ ）


A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{3}{5}$
D. $\frac{4}{5}$

答案：
D [解析]过点P作PA⊥x轴于点A，如图.
∵P(3，4)，
∴OA = 3，AP = 4，
∴$OP=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，
∴$\sin\alpha=\frac{AP}{OP}=\frac{4}{5}$。

17. [浙江湖州中考]如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AC = 1，AB = 2，则sinB的值是______.

答案： $\frac{1}{2}$ [解析]
∵∠ACB = 90°，AC = 1，AB = 2，
∴$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$。

18. [河北石家庄名校内测]如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，D为BC边（除端点外）上的一点，设∠ADC = α，∠B = β.

（1）猜想sinα与sinβ的大小关系；
（2）试证明你的结论.

答案： [解析]
(1)$\sin\alpha＞\sin\beta$；
(2)证明：
∵$\sin\alpha=\frac{AC}{AD}$，$\sin\beta=\frac{AC}{AB}$，又
∵AD＜AB，
∴$\sin\alpha＞\sin\beta$。