《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

9. (20分)(广元中考)如图，反比例函数$y_1=\frac{k}{x}$的图象和一次函数y2 = mx + n的图象相交于A(-3,a),B(a + $\frac{3}{2}$,-2)两点，O为坐标原点，连接OA,OB.
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)当y1＞y2时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围；
(3)求△AOB的面积.

答案：
(1)
∵反比例函数y₁ = $\frac{k}{x}$的图象和一次函数y₂ = mx + n的图象相交于A(−3,a)，B($a + \frac{3}{2}$,-2)两点，
∴k = -3a = -2($a + \frac{3}{2}$)。
∴a = 3。
∴A(−3,3)，B($\frac{9}{2}$,-2)。
∴k = -3×3 = -9。
∴反比例函数的解析式为y₁ = - $\frac{9}{x}$。把A(−3,3)，B($\frac{9}{2}$,-2)代入y₂ = mx + n，得$\begin{cases}-3m + n = 3 \\ \frac{9}{2}m + n = -2 \end{cases}$，解得$\begin{cases}m = - \frac{2}{3} \\ n = 1 \end{cases}$，
∴一次函数的解析式为y₂ = - $\frac{2}{3}$x + 1。
(2)由图象可知，当y₁＞y₂时，自变量x的取值范围是 -3＜x＜0或x＞$\frac{9}{2}$。
(3)如图，设AB与y轴相交于点C。在y₂ = - $\frac{2}{3}$x + 1中，令x = 0，则y₂ = 1，
∴C(0,1)。
∴$S_{\triangle AOB}$ = $S_{\triangle AOC}$ + $S_{\triangle BOC}$ = $\frac{1}{2}$OC·($x_B - x_A$) = $\frac{1}{2}$×1×($\frac{9}{2}$ + 3) = $\frac{15}{4}$。

10. ★(20分)如图，在直角坐标系中，一次函数y = x - 4的图象与反比例函数$y=\frac{a}{x}$的图象交于A(6,m),B(-2,n)两点，交x轴于点C.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若P为反比例函数$y=\frac{a}{x}$图象上的一点，当$S_{\triangle POC}=2S_{\triangle AOC}$时，求点P的坐标.

答案：
(1)将A(6,m)代入y = x - 4，得m = 2，
∴A(6,2)。将A(6,2)代入y = $\frac{a}{x}$，得a = 12，
∴反比例函数的解析式为y = $\frac{12}{x}$。
(2)
∵一次函数y = x - 4的图象交x轴于点C，令y = 0，则0 = x - 4，解得x = 4。
∴C(4,0)。
∴$S_{\triangle AOC}$ = $\frac{1}{2}$×4×2 = 4。
∵$S_{\triangle POC}$ = 2$S_{\triangle AOC}$，
∴$S_{\triangle POC}$ = 8。设点P的坐标为(b,$\frac{12}{b}$)，则$S_{\triangle POC}$ = $\frac{1}{2}$×4×|$\frac{12}{b}$| = 8，解得b = 3或b = -3。
∴点P的坐标为(3,4)或(-3,-4)。