《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

8. ★(21分)(遂宁中考)如图，一次函数$y_1 = kx + b$的图象与反比例函数$y_2 = \frac{m}{x}$的图象相交于$A(1,3)$，$B(n,－1)$两点.
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式；
(2) 根据图象，直接写出当$y_1 ＞ y_2$时，$x$的取值范围；
(3) 过点$B$作直线$OB$，交反比例函数的图象于点$C$，连接$AC$，求$\triangle ABC$的面积.

答案：

(1)将A(1,3)代入y_{2}=$\frac{m}{x}$，得m = 1×3 = 3，
∴反比例函数的解析式为y_{2}=$\frac{3}{x}$. 将B(n,-1)代入y_{2}=$\frac{3}{x}$，得$\frac{3}{n}$ = -1，解得n = -3.
∴点B的坐标为(-3,-1). 将A(1,3)，B(-3,-1)代入y_{1}=kx + b，得$\begin{cases}k + b = 3\\-3k + b = -1\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = 1\\b = 2\end{cases}$.
∴一次函数的解析式为y_{1}=x + 2
(2) -3＜x＜0或x＞1
(3)如图，连接AO，令直线AB与x轴的交点为M. 在y_{1}=x + 2中，令y_{1}=0，得x + 2 = 0，解得x = -2.
∴点M的坐标为(-2,0).
∴S_{△AOB}=S_{△AOM}+S_{△BOM}=$\frac{1}{2}$×2×3+$\frac{1}{2}$×2×1 = 4.
∵正比例函数的图象与反比例函数的图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心，
∴点B和点C关于点O成中心对称.
∴BO = CO.
∴S_{△ABC}=2S_{△AOB}=8

9. ★(21分)(自贡中考)如图，在直角坐标系中，一次函数$y = kx + b$的图象与反比例函数$y = \frac{m}{x}$的图象交于$A(－6,1)$，$B(1,n)$两点.
(1) 求反比例函数和一次函数的解析式；
(2) $P$是直线$x = －2$上的一个动点，$\triangle PAB$的面积为21，求点$P$的坐标；
(3) 点$Q$在反比例函数$y = \frac{m}{x}$位于第四象限的图象上，$\triangle QAB$的面积为21，请直接写出点$Q$的坐标.

答案：

(1)把A(-6,1)代入y = $\frac{m}{x}$，得1 = $\frac{m}{-6}$，解得m = -6.
∴反比例函数的解析式为y = -$\frac{6}{x}$. 把B(1,n)代入y = -$\frac{6}{x}$，得n = -6.
∴B(1,-6). 把A(-6,1)，B(1,-6)代入y = kx + b，得$\begin{cases}-6k + b = 1\\k + b = -6\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -1\\b = -5\end{cases}$.
∴一次函数的解析式为y = -x - 5
(2)如图①，设直线x = -2交直线AB于点H. 在y = -x - 5中，令x = -2，得y = -3，
∴H(-2,-3).
∵△PAB的面积为21，
∴$\frac{1}{2}$PH·|x_{B}-x_{A}| = 21，即$\frac{1}{2}$PH×[1-(-6)] = 21.
∴PH = 6.
∵ -3 + 6 = 3，-3 - 6 = -9，
∴点P的坐标为(-2,3)或(-2,-9)
(3)点Q的坐标为($\frac{-11+\sqrt{145}}{2}$,-$\frac{11+\sqrt{145}}{2}$)或(3,-2)
解析：如图②，过点Q作QM//x轴交直线AB于点M. 设点Q的坐标为(t,-$\frac{6}{t}$)(t＞0). 在y = -x - 5中，令y = -$\frac{6}{t}$，则x = $\frac{6}{t}$ - 5，
∴M($\frac{6}{t}$ - 5,-$\frac{6}{t}$).
∴MQ = |$\frac{6}{t}$ - 5 - t|.
∵△QAB的面积为21，
∴$\frac{1}{2}$MQ·|y_{A}-y_{B}| = 21，即$\frac{1}{2}$×|$\frac{6}{t}$ - 5 - t|×[1-(-6)] = 21.
∴$\frac{6}{t}$ - 5 - t = 6或$\frac{6}{t}$ - 5 - t = -6，解得t = $\frac{-11\pm\sqrt{145}}{2}$或t = -2或t = 3.
∵t＞0，
∴点Q的坐标为($\frac{-11+\sqrt{145}}{2}$,-$\frac{11+\sqrt{145}}{2}$)或(3,-2).