《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

8. 如图,在△ABC中,P为AB上的点,请你添加一个条件: ____________________,使△ACP∽△ABC.
　　　　　　　　 　　　　　　　　　　

答案： 答案不唯一,如$AC^{2}=AP\cdot AB$

9. ★如图,在△ABC中,AB = 6,CA = 4,D为AC的中点,点E在AB上,当AE = ______时,△ABC与以点A,D,E为顶点的三角形相似.

答案： 3或$\frac{4}{3}$

10. (12分)(广州中考)如图,点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上,BE = 3,EC = 6,CF = 2.求证:△ABE∽△ECF.
　　　　　　

答案：
∵BE=3,EC=6,
∴BC=BE+EC=9.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=BC=9,∠B=∠C=90°.
∵$\frac{AB}{EC}$=$\frac{9}{6}$=$\frac{3}{2}$,$\frac{BE}{CF}$=$\frac{3}{2}$,
∴$\frac{AB}{EC}$=$\frac{BE}{CF}$.
∴△ABE∽△ECF

11. (16分)如图,在△PAB中,点C,D在边AB上,△PCD是等边三角形,且AC = 1,CD = 2,DB = 4.求证:△ACP∽△PDB.
　　　　

答案：
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°,PC=PD=CD=2.
∴∠PCA=∠PDB=180°−60°=120°.
∵AC=1,BD=4,
∴$\frac{AC}{PD}$=$\frac{1}{2}$,$\frac{PC}{BD}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$.
∴$\frac{AC}{PD}$=$\frac{PC}{BD}$.
∴△ACP∽△PDB

12. ★(18分)如图,∠MON = 90°,A是∠MON内部的一点,过点A作AB⊥ON,垂足为B,AB = 3厘米,OB = 4厘米,动点E,F同时从点O出发,点E以1.5厘米/秒的速度沿射线ON的方向运动,点F以2厘米/秒的速度沿射线OM的方向运动,EF与OA交于点C.当点E到达点B时,点E,F均停止运动.设运动时间为t秒(t＞0).
(1) 当t = 1时,△EOF与△ABO是否相似? 请说明理由.
(2) 求证:在运动过程中,不论t取何值,总有EF⊥OA.
　　　　　　　　

答案：
(1)相似　理由:
∵t=1,
∴OE=1.5厘米,OF=2厘米.
∵AB=3厘米，OB=4厘米,
∴$\frac{OE}{BA}$=$\frac{1.5}{3}$=$\frac{1}{2}$,$\frac{OF}{BO}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$.
∴$\frac{OE}{BA}$=$\frac{OF}{BO}$.
∵AB⊥ON,
∴∠EOF=∠ABO=90°.
∴△EOF∽△ABO.　　
(2)在运动过程中,OE=1.5t厘米,OF=2t厘米.
∵AB=3厘米，OB=4厘米，
∴$\frac{OE}{BA}$=$\frac{1.5t}{3}$=$\frac{t}{2}$,$\frac{OF}{BO}$=$\frac{2t}{4}$=$\frac{t}{2}$.
∴$\frac{OE}{BA}$=$\frac{OF}{BO}$.又
∵∠EOF=∠ABO=90°,
∴△EOF∽△ABO.
∴∠AOB=∠EFO.
∵∠AOB+∠FOC=∠MON=90°,
∴∠EFO+∠FOC=90°.
∴∠FCO=90°.
∴EF⊥OA