《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

9. （14分）如图,在△ABC和△AED中,AB=25,BC=40,AC=20,AE=12,AD=15,DE=24.
（1）求证:△ABC∽△ADE;
（2）若∠BAC=125°,∠EAC=70°,求∠CAD的度数.
　　　

答案： （1）$\because \frac{BC}{DE}=\frac{40}{24}=\frac{5}{3}$，$\frac{AB}{AD}=\frac{25}{15}=\frac{5}{3}$，$\frac{AC}{AE}=\frac{20}{12}=\frac{5}{3}$，$\therefore \frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.$\therefore \triangle ABC\sim\triangle ADE$ （2）由（1），知$\triangle ABC\sim$$\triangle ADE$，$\therefore \angle DAE=\angle BAC = 125^{\circ}$.$\because \angle EAC = 70^{\circ}$，$\therefore \angle CAD =$$\angle DAE - \angle EAC = 125^{\circ}-70^{\circ}=55^{\circ}$

10. （18分）如图,△ABC各顶点的坐标分别为A(3,0),B(0,4),C(4,2),过点C作CD⊥x轴,垂足为D.求证:△ABC∽△ACD.
　　　

答案： $\because$点$A$的坐标为$(3,0)$，点$B$的坐标为$(0,4)$，点$C$的坐标为$(4,2)$，$CD\perp x$轴，$\therefore OA = 3$，$OD = 4$，$CD = 2$，$AB=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$，$BC =$$\sqrt{4^{2}+(4 - 2)^{2}} = 2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{(4 - 3)^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$.$\therefore AD = OD -$$OA = 4 - 3 = 1$.$\because \frac{AB}{AC}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$，$\frac{BC}{CD}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$，$\frac{AC}{AD}=\frac{\sqrt{5}}{1}=\sqrt{5}$，$\therefore \frac{AB}{AC}=\frac{BC}{CD}=\frac{AC}{AD}$.$\therefore \triangle ABC\sim\triangle ACD$

11. ★（20分）已知△ABC与点O,连接OA,OB,OC,分别取OA,OB,OC的中点D,E,F,连接DE,EF,FD.
（1）当点O在△ABC内时,如图①.求证:△DEF∽△ABC.
（2）当点O在边AB上时,请在图②中画图,并说明（1）中的结论是否仍成立.
（3）当点O在△ABC外时,请在图③中画图,并证明（1）中的结论仍成立.
　　　　　　　

答案：
（1）在$\triangle AOB$中，$\because D$，$E$分别是$OA$，$OB$的中点，$\therefore DE =$$\frac{1}{2}AB$.同理，可得$EF=\frac{1}{2}BC$，$DF=\frac{1}{2}AC$，$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=$$\frac{1}{2}$.$\therefore \triangle DEF\sim\triangle ABC$ （2）如图①.当点$O$在边$AB$上时，$\because$在$\triangle AOC$中，$D$，$F$分别是$OA$，$OC$的中点，$\therefore DF=\frac{1}{2}AC$.同理，可得$EF=\frac{1}{2}BC$.$\because D$，$E$分别是$OA$，$OB$的中点，$\therefore OD=\frac{1}{2}OA$，$OE=\frac{1}{2}OB$.$\therefore DE = OD + OE=\frac{1}{2}OA+\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}(OA + OB)=$$\frac{1}{2}AB$.$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$.$\therefore \triangle DEF\sim\triangle ABC$.$\therefore$（1）中的结论仍成立 （3）如图②.当点$O$在$\triangle ABC$外时，$\because$在$\triangle AOC$中，$D$，$F$分别是$OA$，$OC$的中点，$\therefore DF=\frac{1}{2}AC$.同理，可得$EF =$$\frac{1}{2}BC$，$DE=\frac{1}{2}AB$.$\therefore \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{DF}{AC}=\frac{1}{2}$.$\therefore \triangle DEF\sim\triangle ABC$.$\therefore$（1）中的结论仍成立