《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

9. (12分)求下面各式的值:
　(1) cos 60° - sin²45° + $\frac{1}{4}$tan²30° + cos 30° - sin 30°；
　(2) $\frac{2\sin 60°}{2\sin 45° + \tan 45°} - 4\sin 30°\cos²30°$.

答案：
(1)原式$=\frac{1}{2}-(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+\frac{1}{4}\times(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\times\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{5}{12}$
(2)原式$=\frac{2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{2\times\frac{\sqrt{2}}{2}+1}-4\times\frac{1}{2}\times(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}-4\times\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{3}\times(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)\times(\sqrt{2}-1)}-\frac{3}{2}=\sqrt{6}-\sqrt{3}-\frac{3}{2}$

10. (14分)如图，在△ABC中，∠C = 90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE = 6，cos A = $\frac{3}{5}$. 求:
　　(1) CD的长;
　　(2) tan∠DBC的值.
　　　　

答案：
(1)
∵$DE⊥AB$，
∴$∠AED = 90^{\circ}$. 在$Rt\triangle ADE$中，
∵$AE = 6$，$\cos A=\frac{AE}{AD}=\frac{3}{5}$，
∴$AD=\frac{AE}{\cos A}=10$.
∴由勾股定理，得$DE=\sqrt{AD^{2}-AE^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}} = 8$.
∵$∠C = 90^{\circ}$，
∴$CD⊥BC$.
∵$BD$平分$∠ABC$，$DE⊥AB$，$CD⊥BC$，
∴$CD = DE = 8$
(2)由
(1)，得$AD = 10$，$CD = 8$，
∴$AC = AD + CD = 10 + 8 = 18$. 在$\triangle ADE$和$\triangle ABC$中，
∵$∠A=∠A$，$∠AED=∠ACB$，
∴$\triangle ADE\sim\triangle ABC$.
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AC}$，即$\frac{8}{BC}=\frac{6}{18}$.
∴$BC = 24$.
∴$\tan∠DBC=\frac{CD}{BC}=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$

11. ★(18分)设θ为直角三角形的一个锐角，给出锐角θ的三角函数的两条基本性质:① tanθ = $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$；② cos²θ + sin²θ = 1. 已知cosθ + sinθ = $\frac{\sqrt{6}}{2}$，求:
　　(1) tanθ + $\frac{1}{\tan\theta}$的值;
　　(2) |cosθ - sinθ|的值.

答案：
(1)
∵$\cos\theta+\sin\theta=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴$(\cos\theta+\sin\theta)^{2}=(\frac{\sqrt{6}}{2})^{2}$，即$\cos^{2}\theta + 2\cos\theta\cdot\sin\theta+\sin^{2}\theta=\frac{3}{2}$.
∵$\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta = 1$，
∴$\cos\theta\cdot\sin\theta=\frac{1}{4}$.
∴$\tan\theta+\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}+\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta}{\cos\theta\cdot\sin\theta}=\frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$
(2)
∵$(\cos\theta-\sin\theta)^{2}=\cos^{2}\theta - 2\cos\theta\cdot\sin\theta+\sin^{2}\theta=1 - 2\times\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，
∴$|\cos\theta-\sin\theta|=\frac{\sqrt{2}}{2}$