《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

9. (14分)已知两个相似三角形对应角平分线的比为3∶10，且大三角形的面积为400 $cm^{2}$.
(1) 求小三角形的面积；
(2) 若这两个三角形的周长差为560 cm，分别求它们的周长.

答案：
(1)设小三角形的面积为$S\ cm^{2}$.
∵ 两个相似三角形对应角平分线的比为3 : 10，
∴ 两个相似三角形的相似比为3 : 10.
∴ $\frac{S}{400}=(\frac{3}{10})^{2}=\frac{9}{100}$.
∴ $S = 36$，即小三角形的面积为$36\ cm^{2}$
(2)由
(1)，可知两个三角形的相似比为3 : 10，设两个三角形的周长分别为$C_{小三角形}$和$C_{大三角形}$，则$C_{小三角形}:C_{大三角形}=3:10$，且$C_{大三角形}-C_{小三角形}=560\ cm$，解得$C_{小三角形}=240\ cm$，$C_{大三角形}=800\ cm$，即小三角形的周长为240 cm，大三角形的周长为800 cm

10. ★(18分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为D. 如果$\frac{C_{\triangle ADC}}{C_{\triangle CDB}}=\frac{3}{2}$，AD = 1，求BC的长.
　　　

答案：
∵ $\angle ACB = 90^{\circ}$，
∴ $\angle A+\angle B = 90^{\circ}$.
∵ $CD\perp AB$，
∴ $\angle CDB=\angle ADC = 90^{\circ}$.
∴ $\angle BCD+\angle B = 90^{\circ}$.
∴ $\angle A=\angle BCD$.
∴ $\triangle ADC\sim\triangle CDB$.
∵ $\angle A=\angle BCD$，$\angle B=\angle B$，
∴ $\triangle ABC\sim\triangle CBD$.
∴ $\frac{AB}{CB}=\frac{BC}{BD}$，$\frac{C_{\triangle ADC}}{C_{\triangle CDB}}=\frac{AD}{CD}=\frac{DC}{DB}=\frac{3}{2}$.
∴ $BC^{2}=AB\cdot BD$，$CD=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}$.
∴ $DB=\frac{2}{3}DC=\frac{4}{9}$.
∴ $AB = AD + DB=\frac{13}{9}$.
∵ $BC^{2}=AB\cdot BD$，即$BC^{2}=\frac{13}{9}\times\frac{4}{9}=\frac{52}{81}$，
∴ $BC=\frac{2\sqrt{13}}{9}$

11. ★(20分)一块直角三角形木板的一条直角边AB的长为1.5 m，面积为1.5 $m^{2}$，要把它加工成一张面积最大的正方形桌面，小明打算按如图①所示的方案进行加工，小华打算按如图②所示的方案进行加工. 谁的加工方案符合要求?
　　　

答案：
∵ $S_{\triangle CBA}=\frac{1}{2}AB\cdot BC = 1.5\ m^{2}$，$AB = 1.5\ m$，
∴ $BC = 2\ m$. 如题图①，设正方形BFED的边长为$x\ m$，则$CD=(2 - x)\ m$.
∵ 四边形BFED是正方形，
∴ $DE// AB$.
∴ $\triangle CDE\sim\triangle CBA$.
∴ $\frac{CD}{CB}=\frac{DE}{BA}$，即$\frac{2 - x}{2}=\frac{x}{1.5}$，解得$x=\frac{6}{7}$. 如题图②，
∵ 四边形DEFG是正方形，
∴ $\angle EDG=\angle DGF = 90^{\circ}$，$DE// AC$. 设正方形DEFG的边长为$y\ m$，过点B作$BH\perp AC$于点H，交DE于点M，则$DE = DG = y\ m$，$\angle MHG = 90^{\circ}$.
∴ 四边形DGHM是矩形.
∴ $MH = DG = y\ m$，$\angle DMH = 90^{\circ}$.
∴ $BM\perp DE$. 在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}} = 2.5\ m$.
∵ $S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BH = 1.5\ m^{2}$，
∴ $BH=\frac{1.5\times2}{2.5}=1.2(m)$.
∴ $BM=(1.2 - y)\ m$.
∵ $DE// AC$，
∴ $\triangle BDE\sim\triangle BAC$.
∴ $\frac{BM}{BH}=\frac{DE}{AC}$，即$\frac{1.2 - y}{1.2}=\frac{y}{2.5}$，解得$y=\frac{30}{37}$.
∵ $\frac{6}{7}＞\frac{30}{37}$，即$x ＞ y$，
∴ $x^{2}＞y^{2}$.
∴ 小明的加工方案符合要求