《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

7. (20分)如图，昌昌和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想测量小树到山脚的距离(即DE的长度)，昌昌站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时昌昌在平面镜内正好可以看到点E，测得BC = 3米，CD = 28米，∠CDE = 150°，昌昌的眼睛到地面的距离AB = 1.5米，求DE的长.
　　　

答案：
如图，过点E作EF⊥BC，交BC的延长线于点F，则∠EFD = 90°.
∵ ∠CDE = 150°，
∴ ∠EDF = 180° - ∠CDE = 30°. 设EF = x米，则DE = 2x米. 在Rt△EDF中，由勾股定理，得DF = $\sqrt{DE^{2}-EF^{2}}=\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$（米）.
∴ FC = CD + DF = (28 + $\sqrt{3}x$)米. 由题意，得∠B = ∠EFC = 90°，∠ACB = ∠ECF，
∴ △ABC∽△EFC.
∴ $\frac{EF}{AB}=\frac{FC}{BC}$，即$\frac{x}{1.5}=\frac{28+\sqrt{3}x}{3}$，解得x = 56 + 28$\sqrt{3}$.
∴ DE的长为(112 + 56$\sqrt{3}$)米

8. ★(32分)(自贡中考改编)为测量水平操场上旗杆的高度AB，九年级(2)班各学习小组运用了多种测量方法.
　　　　
　(1) 如图①，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE. 此时，小组同学测得旗杆的影长BC为11.3 m，据此可得旗杆高度AB为________m.
　(2) 如图②，小李站在操场上的点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面正好观测到旗杆顶部A. 小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE = 1.5 m，小李到镜面距离EC = 2 m，镜面到旗杆的距离CB = 16 m. 求旗杆的高度AB.
　(3) 小王所在小组在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，他们利用自制工具，成功测量了广场雕塑的高度. 如图③，在广场上的点E处，同学们确定与雕塑底部点B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与铅垂线交点C，测得铅垂线CG = 1.8 m，DG = 1.5 m. 将观测点D后移24 m到点D′处. 采用同样方法，测得C′G′ = 1.2 m，D′G′ = 2 m. 求雕塑的高度(结果精确到1 m).

答案： （1）11.3 （2）由题意，得∠DCE = ∠ACB，∠DEC = ∠ABC = 90°，
∴ △DEC∽△ABC.
∴ $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{CE}$，即$\frac{AB}{1.5}=\frac{16}{2}$，解得AB = 12 m.
∴ 旗杆的高度AB为12 m （3）由题意，得∠CGD = ∠ABD = 90°，∠CDG = ∠ADB，
∴ △DCG∽△DAB.
∴ $\frac{CG}{AB}=\frac{DG}{DB}$. 设AB = x m，DB = y m，则$\frac{1.8}{x}=\frac{1.5}{y}$.
∴ y = $\frac{5}{6}x$. 同理，可得$\frac{C'G'}{AB}=\frac{D'G'}{D'B}$.
∴ $\frac{1.2}{x}=\frac{2}{24 + y}$.
∴ $\frac{1.2}{x}=\frac{2}{24+\frac{5}{6}x}$，解得x = 28.8.
∴ 雕塑的高度约为29 m