《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

8. ★如图，过反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上的点A，分别作x轴、y轴的平行线交反比例函数$y=-\frac{2}{x}$的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为$S_1$，$S_2$，$S_3$，$S_4$. 若$S_2 + S_3 + S_4=\frac{11}{2}$，则k的值为（ ）

A. $\frac{5}{2}$
B. $\frac{5}{3}$
C. 4
D. $\frac{8}{3}$

答案： D 解析：设$A(m,\frac{k}{m})$，则$B(-\frac{2m}{k},\frac{k}{m})$，$D(m,-\frac{2}{m})$. $\therefore C(-\frac{2m}{k},-\frac{2}{m})$. $\therefore S_{2}=S_{4}=2$，$S_{3}=\frac{4}{k}$. $\because S_{2}+S_{3}+S_{4}=\frac{11}{2}$，$\therefore 2+\frac{4}{k}+2=\frac{11}{2}$，解得$k=\frac{8}{3}$.

9. ★如图，点A，B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF. 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象分别交边CD，BE于点P，Q. 作$PM\perp x$轴于点M，$QN\perp y$轴于点N. 若$OA = 2AB$，Q为BE的中点，且涂色部分的面积为6，则k的值为（ ）

A. 6
B. 12
C. 24
D. 48

答案： C 解析：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b. $\because OA = 2AB$，$\therefore a = 2b$. $\because Q$为BE的中点，$\therefore QB=\frac{1}{2}b$，易得$ON=\frac{1}{2}b$. $\because$点P在反比例函数的图象上，$\therefore P(\frac{k}{a},a)$. $\therefore OM=\frac{k}{a}$. $\because$涂色部分的面积为6，$\therefore \frac{1}{2}b\cdot\frac{k}{a}=6$，即$\frac{1}{2}b\cdot\frac{k}{2b}=6$. $\therefore k = 24$.

10. ★如图，在反比例函数$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上有点$P_1$，$P_2$，$P_3$，…，$P_{2024}$，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的涂色部分的面积从左到右依次为$S_1$，$S_2$，$S_3$，…，$S_{2023}$，则$S_1 + S_2 + S_3 + \cdots + S_{2023}$的值为（ ）

A. 8
B. 2024
C. $\frac{1}{253}$
D. $\frac{2023}{253}$

答案： D 解析：$\because$点$P_{1}$，$P_{2}$，$P_{3}$，$\cdots$，$P_{2024}$的横坐标依次为1，2，3，$\cdots$，2024，$\therefore$点$P_{1}$，$P_{2}$，$P_{3}$，$\cdots$，$P_{2024}$的纵坐标依次为8，$\frac{8}{2}$，$\frac{8}{3}$，$\cdots$，$\frac{8}{2024}$. $\because$图中每个涂色小矩形的水平边长为1，纵向边长等于相邻两点的纵坐标之差，$\therefore S_{1}=1\times(8-\frac{8}{2})=8-\frac{8}{2}$，$S_{2}=1\times(\frac{8}{2}-\frac{8}{3})=\frac{8}{2}-\frac{8}{3}$，$S_{3}=1\times(\frac{8}{3}-\frac{8}{4})=\frac{8}{3}-\frac{8}{4}$，$\cdots$，$S_{2023}=\frac{8}{2023}-\frac{8}{2024}$. $\therefore S_{1}+S_{2}+S_{3}+\cdots+S_{2023}=8-\frac{8}{2}+\frac{8}{2}-\frac{8}{3}+\frac{8}{3}-\frac{8}{4}+\cdots+\frac{8}{2023}-\frac{8}{2024}=8-\frac{8}{2024}=\frac{2023}{253}$.