《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

10.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,D为边AC上一点,CD = 3,AD = BD = 5. 求∠A 的三个三角函数值.
　　　

答案： 在$Rt\triangle BCD$中，
∵ $CD = 3$，$BD = 5$，
∴ 由勾股定理，得$BC=\sqrt{BD^{2}-CD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$.
∵ $AC = AD + CD = 5 + 3 = 8$，
∴ 在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+4^{2}} = 4\sqrt{5}$.
∴ $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{4\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$

11.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,sin A = $\frac{\sqrt{3}}{3}$. 求cos A,tan B的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
∵ $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ 设$BC = \sqrt{3}k(k＞0)$，则$AB = 3k$. 在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{(3k)^{2}-(\sqrt{3}k)^{2}}=\sqrt{6}k$.
∴ $\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{6}k}{3k}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{6}k}{\sqrt{3}k}=\sqrt{2}$

12.(12分)在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c.
　　(1)若a = 5,c = 2a,求b和sin B的值;
　　(2)若tan A = 2,S△ABC = 9,求△ABC的周长.

答案：
(1)
∵ $a = 5$，$c = 2a = 10$，
∴ 在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{10^{2}-5^{2}} = 5\sqrt{3}$.
∴ $\sin B=\frac{b}{c}=\frac{5\sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
(2)
∵ $\tan A=\frac{a}{b}=2$，
∴ $a = 2b$.
∵ $S_{\triangle ABC}=9$，
∴ $\frac{1}{2}ab = 9$.
∴ $\frac{1}{2}\times2b\times b = 9$，解得$b = 3$(负值舍去).
∴ $a = 6$. 在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{6^{2}+3^{2}} = 3\sqrt{5}$.
∴ $\triangle ABC$的周长为$a + b + c = 6 + 3 + 3\sqrt{5}=9 + 3\sqrt{5}$

13. ★(14分)如图,在直角坐标系中,O为坐标原点，点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,BO = 5,sin∠BOA = $\frac{3}{5}$. 求:
　　(1)点B的坐标;
　　(2)cos∠BAO的值.
　　　　　　

答案：

(1) 如图，过点$B$作$BH\perp OA$，垂足为$H$. 在$Rt\triangle OHB$中，
∵ $BO = 5$，$\sin\angle BOA=\sin\angle BOH=\frac{BH}{BO}=\frac{3}{5}$，
∴ $BH = 3$.
∴ 在$Rt\triangle BOH$中，由勾股定理，得$OH=\sqrt{BO^{2}-BH^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$.
∴ 点$B$的坐标为$(4,3)$
(2) 由题意，得$OA = 10$.
∵ $OH = 4$，
∴ $AH = OA - OH = 6$.
∴ 在$Rt\triangle AHB$中，由勾股定理，得$AB=\sqrt{BH^{2}+AH^{2}}=\sqrt{3^{2}+6^{2}} = 3\sqrt{5}$.
∴ $\cos\angle BAO=\cos\angle BAH=\frac{AH}{AB}=\frac{6}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$