《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

6. ★如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C均在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数$y = \frac{1}{x}(x ＞ 0)$的图象上，则点E的横坐标为_______.

答案： $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 解析：
∵四边形OABC是正方形，
∴∠OAB = 90°，OA = AB. 设点B的坐标为(a,a)(a＞0). 由题意，得a = $\frac{1}{a}$，解得a = 1（负值舍去），即B(1,1).
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD = DE. 设点E的坐标为(1 + b,b).
∵点E在函数y = $\frac{1}{x}$(x＞0)的图象上，
∴(1 + b)b = 1，解得b = $\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$.
∵b＞0，
∴b = $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.
∴点E的横坐标为1 + $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ = $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

7. ★如图，直线l：$y_1 = \frac{1}{4}x - 1$与x轴相交于点A，与双曲线$y_2 = \frac{k}{x}$相交于点B.
　(1)若k = 3，求当$y_1 ≤ y_2$时，x的取值范围；
　(2)以AB为边在直线l的上方作正方形ABCD，点D恰好落在反比例函数$y_2 = \frac{k}{x}$的图象上，求k的值；
　(3)在（2）的条件下，将正方形ABCD沿着射线BA的方向平移，当点C落在反比例函数$y_2 = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象上时，直接写出此时的平移距离.
　　　　

答案：
（1）当k = 3时，反比例函数的解析式为y₂ = $\frac{3}{x}$. 联立方程组，得$\begin{cases}y=\frac{3}{x},\\y=\frac{1}{4}x - 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 6,\\y=\frac{1}{2}\end{cases}$或$\begin{cases}x = -2,\\y=-\frac{3}{2}\end{cases}$.
∴B(6,$\frac{1}{2}$)，直线l与双曲线在第三象限的交点坐标为(-2,-$\frac{3}{2}$). 根据函数图象可知，当y₁≤y₂时，x的取值范围是0＜x≤6或x≤ - 2.
（2）如图，过点D作DM⊥x轴，垂足为M，过点B作BN⊥x轴，垂足为N，则∠AMD = ∠BNA = 90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD = AB，∠DAB = 90°.
∴∠ADM + ∠DAM = ∠BAN + ∠DAM = 90°.
∴∠ADM = ∠BAN. 在△ADM和△BAN中，$\begin{cases}\angle AMD=\angle BNA,\\\angle ADM=\angle BAN,\\AD = BA,\end{cases}$
∴△ADM≌△BAN.
∴AM = BN，DM = AN. 在y₁ = $\frac{1}{4}$x - 1中，令y₁ = 0，得$\frac{1}{4}$x - 1 = 0，解得x = 4.
∴A(4,0)，即OA = 4. 设点D的坐标为(m,$\frac{k}{m}$)，则AM = BN = 4 - m，DM = AN = $\frac{k}{m}$，
∴B(4 + $\frac{k}{m}$,4 - m).
∵点B在反比例函数y₂ = $\frac{k}{x}$的图象上，且在直线y₁ = $\frac{1}{4}$x - 1上，
∴(4 + $\frac{k}{m}$)(4 - m)=k，4 - m = $\frac{1}{4}$(4 + $\frac{k}{m}$) - 1，解得m = $\frac{5}{2}$，k = 15.
（3）此时的平移距离为$\frac{\sqrt{153}}{2}$ 解析：由（2）可知，反比例函数的解析式为y₂ = $\frac{15}{x}$，B(10,$\frac{3}{2}$)，A(4,0). 将正方形ABCD沿着射线BA的方向平移，当点C落在反比例函数y₂ = $\frac{15}{x}$(x＞0)的图象上时，平移距离就是线段AB的长.
∵AB = $\sqrt{(10 - 4)^{2}+(\frac{3}{2})^{2}}$ = $\frac{\sqrt{153}}{2}$，
∴此时的平移距离为$\frac{\sqrt{153}}{2}$.

8. ★★如图，在直角坐标系中，正比例函数y = kx的图象与反比例函数$y = \frac{3}{x}$的图象分别交于A，C两点，点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为(m,0). 其中m ＞ 0.
　(1)四边形ABCD是__________（填四边形ABCD的形状）.
　(2)当点A的坐标为(n,3)时，四边形ABCD是矩形，求m，n的值.
　(3)试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由.
　　　　　

答案： （1）平行四边形
（2）
∵点A(n,3)在反比例函数y = $\frac{3}{x}$的图象上，
∴3n = 3，解得n = 1.
∴A(1,3).
∴OA = $\sqrt{1^{2}+3^{2}}$ = $\sqrt{10}$.
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA = $\frac{1}{2}$AC，OB = $\frac{1}{2}$BD，AC = BD.
∴OB = OA = $\sqrt{10}$.
∵点B的坐标为(m,0)，m＞0，
∴m = $\sqrt{10}$.
（3）四边形ABCD不能成为菱形 理由：
∵点A在第一象限内，点B在x轴的正半轴上，
∴∠AOB＜90°.
∴AC与BD不可能互相垂直.
∴四边形ABCD不能成为菱形.