《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

10. (14分)如图，在△ABC中，∠ACB = 90°，D为边AB上一点，且CD = CA，过点D作DE⊥AB，交BC于点E. 求证：△CDE∽△CBD.
　　　

答案：
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠B = 90°.
∵ DE⊥AB，
∴ ∠ADE = ∠ADC + ∠CDE = 90°.
∵ CD = CA，
∴ ∠A = ∠ADC.
∴ ∠CDE = ∠B. 又
∵ ∠DCE = ∠BCD，
∴ △CDE∽△CBD

11. (16分)如图，⊙O的直径AB交弦CD(不是直径)于点P，且$PC^{2}=PB\cdot PA$. 求证：AB⊥CD.
　　

答案：
如图，连接AC，BD.
∵ ∠A = ∠D，∠C = ∠B，
∴ △APC∽△DPB.
∴ $\frac{PC}{PB}=\frac{PA}{PD}$.
∴ PC·PD = PA·PB.
∵ $PC^{2}=PB·PA$，
∴ PC·PD = $PC^{2}$.
∴ PD = PC.
∵ AB为⊙O的直径，
∴ AB⊥CD

12. ★(16分)如图，在矩形ABCD中，连接AC，过点D作DE⊥AC于点E，DE的延长线交BC于点F. 当AB = 3，BC = 4时，求BF的长.
　　　

答案：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB = CD = 3，∠B = ∠BCD = 90°.
∵ DE⊥AC，
∴ ∠DEC = 90°.
∴ ∠EDC + ∠ACD = 90°.
∵ ∠ACB + ∠ACD = ∠BCD = 90°，
∴ ∠EDC = ∠ACB.
∴ △FDC∽△ACB.
∴ $\frac{CD}{BC}=\frac{FC}{AB}$，即 $\frac{3}{4}=\frac{FC}{3}$.
∴ $FC=\frac{9}{4}$.
∴ $BF = BC - FC = 4-\frac{9}{4}=\frac{7}{4}$