《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

1. 如图，△OAB是等边三角形，且OA与x轴重合，B是反比例函数$y = -\frac{8\sqrt{3}}{x}(x ＜ 0)$的图象上的点，则△OAB的周长为（ ）
A. $12\sqrt{2}$ B. $10\sqrt{2}$ C. $9\sqrt{2}$ D. $8\sqrt{2}$
　　　　

答案： A

2. 如图，点A(a,b)在双曲线$y = \frac{6}{x}$上，a ＞ b ＞ 0，OA = $\sqrt{13}$，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，则△ABC的周长为（ ）
A. $4\sqrt{7}$ B. 5 C. $2\sqrt{7}$ D. $\sqrt{22}$
　　　　

答案： B 解析：
∵OA的垂直平分线交OC于点B，
∴AB=OB.
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=OB+BC+AC=OC+AC.
∵点A的坐标为(a,b)，AC⊥x轴，
∴OC=a，AC=b. 由题意，得$\begin{cases}ab = 6,\\a^{2}+b^{2}=(\sqrt{13})^{2},\end{cases}$
∴a + b = 5，即△ABC的周长=OC+AC=a + b = 5.

3. ★如图，△POA₁，△P₂A₁A都是等腰直角三角形，直角顶点P，P₂在函数$y = \frac{4}{x}(x ＞ 0)$的图象上，斜边OA₁，A₁A都在x轴上，则点A的坐标为_______.
　　　　

答案：
$(4\sqrt{2},0)$ 解析：如图，过点P作PB⊥x轴于点B，过点P₂作P₂D⊥x轴于点D. 又
∵△POA₁是等腰直角三角形，
∴∠POA₁=∠OPB=$\frac{1}{2}$∠OPA₁=45°，BO=BA₁.
∴BP=BO=BA₁. 设OB=a，则点P的坐标为(a,a).
∵点P在函数y = $\frac{4}{x}$(x＞0)的图象上，
∴a² = 4，解得a = 2（负值舍去）.
∴OA₁ = 2a = 4.
∴点A₁的坐标为(4,0). 同理，可得DP₂ = DA₁ = DA. 设DA₁ = b，则点P₂的坐标为(4 + b,b).
∵点P₂在函数y = $\frac{4}{x}$(x＞0)的图象上，
∴b(4 + b)=4，解得b₁ = -2 - 2$\sqrt{2}$（不合题意，舍去），b₂ = -2 + 2$\sqrt{2}$.
∴AA₁ = 2b = -4 + 4$\sqrt{2}$.
∴OA = 4 - 4 + 4$\sqrt{2}$ = 4$\sqrt{2}$.
∴点A的坐标为(4$\sqrt{2}$,0).

4. 如图，在△ABC中，AC = BC，AB⊥x轴，垂足为A. 反比例函数$y = \frac{k}{x}(x ＞ 0)$的图象经过点C，交AB于点D. 已知AB = 8，BC = 5.
　(1)若OA = 8，求k的值；
　(2)连接OC，若BD = BC，求OC的长.
　　　　

答案：
（1）如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E.
∵AC = BC，AB = 8，
∴AE = BE = $\frac{1}{2}$AB = 4. 在Rt△BCE中，由勾股定理，得CE = $\sqrt{BC^{2}-BE^{2}}$ = $\sqrt{5^{2}-4^{2}}$ = 3.
∵OA = 8，
∴易得点C的坐标为(5,4).
∵反比例函数y = $\frac{k}{x}$(x＞0)的图象经过点C，
∴k = 5×4 = 20.
（2）设点A的坐标为(m,0).
∵BD = BC = 5，AB = 8，
∴AD = AB - BD = 3.
∴易得点D，C的坐标分别为(m,3)，(m - 3,4).
∵点C，D都在反比例函数y = $\frac{k}{x}$(x＞0)的图象上，
∴3m = 4(m - 3).
∴m = 12.
∴点C的坐标为(9,4).
∴OC = $\sqrt{9^{2}+4^{2}}$ = $\sqrt{97}$.

5. ★如图，在直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴平行，A，B两点的纵坐标分别为4，1，反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象经过A，B两点，菱形ABCD的面积为$9\sqrt{2}$，则k的值为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 9
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
A 解析：如图，过点A作BC的垂线，交CB的延长线于点E.
∵菱形ABCD的面积为AE·BC = 9$\sqrt{2}$，
∴(4 - 1)×BC = 9$\sqrt{2}$.
∴BC = 3$\sqrt{2}$.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = BC = 3$\sqrt{2}$. 在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE = $\sqrt{AB^{2}-AE^{2}}$ = 3. 设点A的坐标为(m,4)，则点B的坐标为(m + 3,1).
∵反比例函数y = $\frac{k}{x}$的图象经过A，B两点，
∴k = 4m = m + 3，解得m = 1，k = 4.