《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

10.（12分）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A'，B'，C'，D'分别是OA，OB，OC，OD的中点. 试判断四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是否相似，并说明理由.
　　　

答案： 相似　理由:
∵$A'$，$B'$分别是$OA$，$OB$的中点，
∴$A'B'// AB$，$A'B'=\frac{1}{2}AB$.
∴$\angle OA'B'=\angle OAB$，$\frac{A'B'}{AB}=\frac{1}{2}$. 同理，可得$\angle OA'D'=\angle OAD$，$\frac{A'D'}{AD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'D'}{AD}$，$\angle OA'B'+\angle OA'D'=\angle OAB+\angle OAD$.
∴$\angle B'A'D'=\angle BAD$. 同理，可得$\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'D'}{AD}=\frac{D'C'}{DC}=\frac{B'C'}{BC}$，$\angle A'D'C'=\angle ADC$，$\angle D'C'B'=\angle DCB$，$\angle C'B'A'=\angle CBA$.
∴四边形$ABCD$与四边形$A'B'C'D'$相似.

11. ★（14分）如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，且AB = 4. 求：
（1）AD的长；
（2）矩形DMNC与矩形ABCD的相似比.
　　　　　　

答案：
(1)
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$AD = BC$. 由题意，得$MN = AB$，$MD=\frac{1}{2}AD$.
∵矩形$DMNC$与矩形$ABCD$相似，
∴$\frac{DM}{AB}=\frac{MN}{BC}$，即$\frac{\frac{1}{2}AD}{AB}=\frac{AB}{AD}$.
∴$\frac{1}{2}AD^{2}=AB^{2}$.
∵$AB = 4$，
∴$AD = 4\sqrt{2}$
(2)矩形$DMNC$与矩形$ABCD$的相似比为$\frac{DM}{AB}=\frac{\frac{1}{2}AD}{AB}=\frac{2\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

12. ★（20分）在AB = 20 m、AD = 30 m的矩形花坛ABCD的四周修筑小路.
（1）如图①，如果四周小路的宽均为x m，那么小路所围成的矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似吗？请说明理由.
（2）如图②，如果相对的两条小路的宽均相等，相邻的两条小路的宽分别为x m，y m，那么当$\frac{x}{y}$的值为多少时，小路所围成的矩形A'B'C'D'与矩形ABCD相似（A'B'与AB为对应边）？
　　

答案：
(1)不相似　　理由:
∵四周小路的宽均为$x$ m，
∴$\frac{A'D'}{AD}=\frac{30 + 2x}{30}=\frac{15 + x}{15}$，$\frac{A'B'}{AB}=\frac{20 + 2x}{20}=\frac{10 + x}{10}$.
∵$\frac{15 + x}{15}\neq\frac{10 + x}{10}$，
∴小路所围成的矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$不相似. （2）由题意，得$A'B'=(20 + 2y)$ m，$A'D'=(30 + 2x)$ m. 当$\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'D'}{AD}$，即$\frac{20 + 2y}{20}=\frac{30 + 2x}{30}$时，小路所围成的矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似. 整理，得$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$.
∴当$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$时，小路所围成的矩形$A'B'C'D'$与矩形$ABCD$相似