《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

8. ★如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为 （ ）
A. $\frac{2\sqrt{13}}{13}$ B. $\frac{3\sqrt{13}}{13}$ C. $\frac{2}{3}$ D. $\frac{\sqrt{5}}{3}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： C

9. 如图，在矩形ABCD中，AB = 10，BC = 8，E为边AD上的一点，沿CE将△CDE折叠，使点D正好落在边AB上的点F处，求sin∠AFE的值.
　　　

答案：
∵四边形ABCD是矩形，
∴$\angle B=\angle D = 90^{\circ}$，$AB = CD = 10$.由折叠，得$\angle EFC=\angle D = 90^{\circ}$，$CF = CD = 10$.
∴$\angle AFE+\angle BFC=180^{\circ}-\angle EFC = 90^{\circ}$，$\angle BFC+\angle BCF = 90^{\circ}$.$\therefore\angle AFE=\angle BCF$.在$Rt\triangle BFC$中，由勾股定理，得$BF=\sqrt{CF^{2}-BC^{2}} = 6$.
∴$\sin\angle BCF=\frac{BF}{CF}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.$\therefore\sin\angle AFE=\sin\angle BCF=\frac{3}{5}$

10. ★如图，在△ABC中，∠A = 120°，AB = 4，AC = 2，则sin B的值是 （ ）
A. $\frac{5\sqrt{7}}{14}$ B. $\frac{\sqrt{3}}{5}$ C. $\frac{\sqrt{21}}{7}$ D. $\frac{\sqrt{21}}{14}$
　　　　　　　　　　　

答案：
D 解析:如图，过点C作$CD\perp AB$，交BA的延长线于点D.
∵$\angle BAC = 120^{\circ}$，
∴$\angle CAD = 180^{\circ}-\angle BAC = 60^{\circ}$.在$Rt\triangle ACD$中，$AC = 2$，
∴$AD = AC\cdot\cos60^{\circ}=2\times\frac{1}{2}=1$，$CD = AC\cdot\sin60^{\circ}=2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.
∵$AB = 4$，
∴$BD = AB + AD = 4 + 1 = 5$.在$Rt\triangle BDC$中，由勾股定理，得$BC=\sqrt{BD^{2}+CD^{2}}=\sqrt{5^{2}+(\sqrt{3})^{2}} = 2\sqrt{7}$.
∴$\sin B=\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{21}}{14}$.

11. ★★如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD 相交于点P，则cos∠APC的值为 （ ）
A. $\frac{\sqrt{3}}{5}$ B. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ C. $\frac{2}{5}$ D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
　　　　　　

答案：
B 解析:如图，把AB向上平移得到DE，连接CE，则$DE// AB$.
∴$\angle APC=\angle EDC$.在$\triangle DCE$中，$EC=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，$DC=\sqrt{4^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{5}$，$DE=\sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5$.
∵$EC^{2}+DC^{2}=DE^{2}$，
∴$\triangle DCE$为直角三角形，且$\angle DCE = 90^{\circ}$.
∴$\cos\angle APC=\cos\angle EDC=\frac{DC}{DE}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

12. ★★如图，AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P. 如果CD = 6，AB = 8，求cos∠APC 的值.
　　　

答案：
如图，连接AC.
∵$\angle CDP$和$\angle ABP$都是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
∴$\angle CDP=\angle ABP$.又
∵$\angle CPD=\angle APB$，
∴$\triangle CDP\sim\triangle ABP$.
∴$\frac{CP}{AP}=\frac{CD}{AB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$.
∵AB是半圆O的直径，
∴$\angle ACB = 90^{\circ}$，即$\angle ACP = 90^{\circ}$.
∴$\cos\angle APC=\frac{CP}{AP}=\frac{3}{4}$