《2025年通城学典活页检测九年级数学下册人教版》

7. ★如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，DE与AC相交于点F，AB=18，BD=6，则CF的长为 （ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
　　　　　　　　　　　　

答案： A

8. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=9，BP=$\frac{1}{3}$BC=2，点D在AC上，且∠APD=∠B，则CD=________.
　　　　　　　　

答案： $\frac{8}{9}$

9. ★
（1）如图①，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE.请写出BD与CE的数量关系：______________.
（2）如图②，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，连接BD，CE，BD与CE是什么数量关系？
（3）如图③，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，且$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}=\frac{3}{4}$，连接BD，CE，求$\frac{BD}{CE}$的值.
　　　　　　　　

答案：
(1) BD = CE 解析：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD = AE，AB = AC，∠DAB + ∠BAE = ∠DAE = 60°，∠BAE + ∠EAC = ∠BAC = 60°.
∴∠DAB = ∠EAC. 在△ADB和△AEC中，$\begin{cases}AD = AE\\\angle DAB = \angle EAC\\AB = AC\end{cases}$，
∴△ADB≌△AEC.
∴BD = CE.
(2)
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC = ∠ADE = 90°，
∴∠DAE = ∠BAC = 45°.
∴△ADE∽△ABC，∠DAB + ∠BAE = ∠BAE + ∠EAC = 45°.
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，∠DAB = ∠EAC.
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$.
∴△ADB∽△AEC.
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{BD}{CE}$. 在等腰直角三角形ADE中，AD = DE，由勾股定理，得AD² + DE² = AE²，即2AD² = AE²，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴BD = $\frac{\sqrt{2}}{2}$CE
(3)
∵$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}=\frac{3}{4}$，即$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}$，∠ABC = ∠ADE = 90°，
∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC = ∠DAE，即∠BAE + ∠EAC = ∠DAB + ∠BAE.
∴∠EAC = ∠DAB. 设AB = 3x，则BC = 4x. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC = $\sqrt{AB^{2}+BC^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}+(4x)^{2}} = 5x$. 同理，在Rt△ADE中，设AD = 3a，DE = 4a，则AE = 5a.
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{3a}{5a}=\frac{3}{5}$，$\frac{AB}{AC}=\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}$.
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5}$. 又
∵∠DAB = ∠EAC，
∴△DAB∽△EAC.
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}=\frac{3}{5}$