《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

8. 如图,$□ ABCD$的对角线$AC$,$BD$交于点$O$,$AB = 2BC$,$DE$平分$\angle ADC$交$AB$于点$E$,交$AC$于点$F$.若$OD = 3\sqrt{3}$,且$OE\perp BD$,则$DF· EF$的值为(B)


A.6
B.8
C.9
D.12

答案： 8 B 【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$\therefore AB // CD$，$DO = BO = 3\sqrt{3}$，$AD = BC$，$\therefore \angle CDE = \angle AED$，$\because DE$ 平分 $\angle ADC$，$\therefore \angle ADE = \angle EDC$，$\therefore \angle ADE = \angle AED$，$\therefore AD = AE$.$\because AB = 2BC$，$\therefore AB = 2AD$，$\therefore AB = 2AE$，$\therefore AE = BE$.$\because OE \perp BD$，$DO = BO$，$\therefore BE = DE = AE = AD$，$\therefore \triangle ADE$ 是等边三角形，$\therefore \angle DAB = 60°$，$\therefore \angle ABD = 30°$，$\therefore AB = 2AD$，$BD = \sqrt{3}AD = 6\sqrt{3}$，$\therefore AD = 6 = AE = DE = BE$，$AB = 12$.$\because AE =$

9. 如图,正方形$ABCD$的边长为10,$E$是$CD$边的中点,$BE$交对角线$AC$于点$F$,将$\triangle BCF$沿$BF$折叠得到$\triangle BC'F$,连接$C'E$,$C'D$.下列给出四个结论:①$C'E = DE$,②$BF = 2EF$,③$\angle C'ED = \angle C'BC$,④$C'D = 2\sqrt{5}$.其中正确的结论有(A)


A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

答案： 9 A 【解析】逐个结论分析如下. 正确的结论是①②③④. 故选 A.
序号 分析 结论是否正确
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$\therefore AB = BC = CD = AD = 10$，$\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90°$.$\because$ 点 $E$ 是 $CD$ 中点，$\therefore CE = DE$，$\because$ 将$\triangle BCF$ 沿 $BF$ 折叠得到$\triangle BC'F$，$\therefore \triangle BCF \cong \triangle BC'F$，① $\therefore BC = BC'$，$\angle CBF = \angle C'BF$，在$\triangle BCE$ 和$\triangle BC'E$ 中，$\begin{cases} BC = BC' \\ \angle CBE = \angle C'BE \\ BE = BE \end{cases}$ $\therefore \triangle BCE \cong \triangle BC'E (SAS)$，$\therefore CE = C'E$，$\therefore C'E = DE$. 是
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形，$\therefore AB // CD$，$\therefore \triangle ABF \sim \triangle CEF$，$\therefore \frac{BF}{EF} = \frac{AB}{CE} = 2$，$\therefore BF = 2EF$. 是
由①知$\angle CEB = \angle C'EB$，$\angle BC'E = \angle BCE = 90°$，$\therefore \angle C'ED = 180° - \angle CEB - \angle C'EB$，$\therefore \angle C'BC = 360° - \angle BC'E - \angle BCE - \angle CEB - \angle C'EB = 180° - \angle CEB - \angle C'EB$，$\therefore \angle C'ED = \angle C'BC$. 是
由① 知 $C'E = DE$，$\therefore \angle DC'E = \angle C'DE$，$\because \angle CEB = \angle C'EB$，$\therefore \angle EDC' = \angle CEB$.$\because CE = C'E = DE = 5$，$DC = BC = 10$，$\therefore \tan \angle EDC' = \tan \angle CEB = \frac{BC}{EC} = 2$，如图，过点 $E$ 作 $EH \perp C'D$ 于点 $H$，$\therefore EH = 2DH$，$DC' = 2DH$，$\because DE = 5$，$DE^2 = DH^2 + EH^2$，$\therefore DH = \sqrt{5}$，$\therefore C'D = 2\sqrt{5}$. 是

10. 新方向·数形结合 如图,抛物线$y = ax^{2}+bx + c$与$x$轴的一个交点为$(1,0)$,另一个交点在$(-3,0)$和$(-2,0)$之间,则下列结论正确的是(C)


A.$abc ＜ 0$
B.$b^{2}-4ac ＜ 0$
C.$2a + c ＞ 0$
D.$2a - b ＞ 0$

答案： 10 C 【解析】由图可知，$a ＜ 0$，$b ＜ 0$，$c ＞ 0$，$\therefore abc ＞ 0$，故选项 A 错误；抛物线与 $x$ 轴有两个交点，$\therefore b^2 - 4ac ＞ 0$，故选项 B 错误；$\because$ 抛物线与 $x$ 轴另一个交点在 $(-3,0)$，$(-2,0)$ 之间，$\therefore \frac{-3 + 1}{2} ＜ -\frac{b}{2a} ＜ \frac{-2 + 1}{2}$，即 $-1 ＜ -\frac{b}{2a} ＜ -\frac{1}{2}$，$\therefore 2a ＜ b ＜ a$，$\therefore 2a - b ＜ 0$，故选项 D 错误；$\because$ 抛物线与 $x$ 轴的一个交点为 $(1,0)$，$\therefore a + b + c = 0$，$\because b ＜ a$，$\therefore 2a + c ＞ 0$，故选项 C 正确. 故选 C.

11. 代数式$\frac{\sqrt{x}}{x - 2}$有意义的条件是 $x \geq 0$ 且 $x \neq 2$.

答案： 11 $x \geq 0$ 且 $x \neq 2$

12. 已知点$A(-1,6)$和点$B(a,-3)$都在反比例函数$y = \frac{k}{x}$的图象上,则$a =$2.

答案： 12 2

13. 如图,$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 4$,$BC = 3$,$P$为$AB$边上任意一点,将$\triangle ABC$绕着点$C$顺时针方向旋转$90^{\circ}$,得到$\triangle A'B'C$,设点$P$运动路线的长度为$l$,则$l$的最小值为$\frac{6}{5}\pi$.

答案： 13 $\frac{6}{5}\pi$ 【解析】在 $Rt \triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90°$，$AC = 4$，$BC = 3$，由勾股定理得 $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = 5$，$\because \triangle ABC$ 绕着点 $C$ 顺时针方向旋转 $90°$，得到$\triangle A'B'C$，$\therefore$ 点 $P$ 运动路线的长度 $l$ 是圆心为点 $C$，圆心角为 $90°$，半径为 $CP$ 的弧长，$\therefore l = \frac{90° × \pi × CP}{180°} = \frac{1}{2}\pi · CP$，$\therefore$ 当 $CP$ 最小时，弧长最小，根据垂线段最短，当 $CP \perp AB$ 时，$CP$ 最小，$\therefore CP = \frac{3 × 4}{5} = \frac{12}{5}$，$\therefore l$ 的最小值为 $\frac{1}{2}\pi × \frac{12}{5} = \frac{6}{5}\pi$.