《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

20. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,点$C$是$\odot O$上一点,过点$C$作$\odot O$的切线与$AB$的延长线相交于点$P$,弦$CE$平分$\angle ACB$,交$AB$于点$F$,连接$BE$.
(1)求证:$PC=PF$.
(2)若$AC=2BC$,$BE=5\sqrt{2}$,求弦$CE$的长.

答案： 20 解：
(1)证明：$\because AB$为$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ACB = 90°$，$\therefore \angle ACO + \angle OCB = 90°$，
由条件可知$OC \perp PC$，$\therefore \angle PCO = 90°$，
$\therefore \angle PCB + \angle OCB = 90°$，$\therefore \angle ACO = \angle PCB$，
由条件可知$\angle ACO = \angle CAO$，$\therefore \angle CAO = \angle PCB$，
$\because CE$平分$\angle ACB$，$\therefore \angle ACF = \angle BCF$，
$\therefore \angle CAO + \angle ACF = \angle PCB + \angle BCF$，
$\therefore \angle PFC = \angle PCF$，$\therefore PC = PF$.(5分)
(2)如图，连接$OE$，过点$B$作$BM \perp CE$于点$M$，
由条件可知$\angle BCE = \frac{1}{2}\angle ACB = 45°$，
$\therefore \angle BOE = 2\angle BCE = 90°$，$\triangle CBM$是等腰直角三角形，
$\therefore \triangle BOE$是等腰直角三角形，
$\because BE = 5\sqrt{2}$，$\therefore OB = \frac{\sqrt{2}}{2}BE = 5$，$\therefore AB = 2OB = 10$.
在$Rt \triangle ABC$中，$AB = 10$，$AC = 2BC$，
$\therefore BC^2 + (2BC)^2 = 10^2$，解得$BC = 2\sqrt{5}$，
则$CM = BM = \frac{\sqrt{2}}{2}BC = \sqrt{10}$，
$\therefore EM = \sqrt{BE^2 - BM^2} = \sqrt{(5\sqrt{2})^2 - (\sqrt{10})^2} = 2\sqrt{10}$，
$\therefore EC = CM + EM = 3\sqrt{10}$.(10分)

21. 某校开展“书香校园”课外读书周活动,活动结束后,经初步统计,所有学生这一周的课外阅读时长都不低于6小时,但不足12小时.从七、八年级中各随机抽取了20名学生,对他们在活动期间课外阅读时长$x$(单位:小时)进行整理、描述和分析($6\leqslant x＜7$,记为6小时;$7\leqslant x＜8$,记为7小时;$8\leqslant x＜9$,记为8小时…以此类推),如图分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息.

七年级抽取的学生课外阅读时长折线统计图 八年级抽取的学生课外阅读时长条形统计图
根据以上信息回答下列问题:
(1)计算统计表中$a$的值.
(2)填空:$b=$8.5,$c=$8.
(3)根据以上数据,你认为该校七年级学生共600人,八年级学生共480人,试估计两个年级的学生在活动期间课外阅读时长不低于8小时的共有多少人?

答案： 21 解：
(1)$a = \frac{2 × 6 + 5 × 7 + 3 × 8 + 6 × 9 + 3 × 10 + 1 × 11}{20} = 8.3$.(3分)
(2)$\because 2 + 5 + 3 = 10$，$2 + 5 + 3 + 6 = 16$，
$\therefore$第10，11名学生的阅读时长分别为8小时，9小时，$\therefore b = \frac{8 + 9}{2} = 8.5$，
七年级阅读时长中，8小时人数最多，$\therefore c = 8$，
故答案为8.5,8.(7分)
(3)$600 × \frac{7 + 5 + 2 + 1}{20} + 480 × \frac{3 + 6 + 3 + 1}{20} = 450 + 312 = 762$(人)，
答：估计两个年级的学生在活动期间课外阅读时长不低于8小时的共有762人.(12分)