《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

18. 观察以下等式:
第1个等式:$(2×1+1)^{2}=(2×2+1)^{2}-(2×2)^{2}$;
第2个等式:$(2×2+1)^{2}=(3×4+1)^{2}-(3×4)^{2}$;
第3个等式:$(2×3+1)^{2}=(4×6+1)^{2}-(4×6)^{2}$;
第4个等式:$(2×4+1)^{2}=(5×8+1)^{2}-(5×8)^{2}$;
……
按照以上规律,解决下列问题.
(1) 写出第5个等式:$(2×5+1)^2=(6×10+1)^2-(6×10)^2$.
(2) 写出你猜想的第$n$个等式(用含$n$的式子表示),并证明.

答案： 解：
(1)$(2×5 + 1)^2=(6×10 + 1)^2-(6×10)^2$.(2分)
(2)$(2n + 1)^2=[(n + 1)×2n + 1]^2-[(n + 1)×2n]^2$.(5分)
证明：左边$=4n^2 + 4n + 1$，
右边$=[(n + 1)×2n]^2+2×(n + 1)×2n + 1^2-[(n + 1)×2n]^2=4n^2 + 4n + 1$，
$\therefore$左边$=$右边，$\therefore$等式成立.(8分)

19. 已知$AB$为$\odot O$的直径,$C$为$\odot O$上一点,$D$为$BA$的延长线上一点,连接$CD$.
(1) 如图1,若$CO\perp AB$,$\angle D=30^{\circ}$,$OA=1$,求$AD$的长.
(2) 如图2,若$DC$与$\odot O$相切,$E$为$OA$上一点,且$\angle ACD=\angle ACE$.求证:$CE\perp AB$.

答案： 解：
(1)$\because OA = 1 = OC$，$CO\perp AB$，$\angle D = 30°$，$\therefore OD=\sqrt{3}OC=\sqrt{3}$，$\therefore AD = OD - OA=\sqrt{3}-1$.(4分)
(2)$\because DC$与$\odot O$相切，$\therefore OC\perp CD$，即$\angle ACD+\angle OCA = 90°$.
$\because OA = OC$，$\therefore\angle OCA=\angle OAC$.
$\because\angle ACD=\angle ACE$，$\therefore\angle OAC+\angle ACE = 90°$.
$\therefore\angle AEC = 90°$，即$CE\perp AB$.(10分) 

20. 如图,为了测量河对岸$A$,$B$两点间的距离,数学兴趣小组在河南岸侧选定观测点$C$,测得$A$,$B$均在$C$的北偏东$37^{\circ}$方向上,沿正东方向行走90米至观测点$D$,测得$A$在$D$的正北方向,$B$在$D$的北偏西$53^{\circ}$方向上.求$A$,$B$两点间的距离.
参考数据:$\sin37^{\circ}\approx0.60$,$\cos37^{\circ}\approx0.80$,$\tan37^{\circ}\approx0.75$.

答案： 解：由题意得，$\angle A = 37°$，$\angle ADB = 37° + 53° = 90°$，$\therefore\angle ABD = 90°$，
在$Rt\triangle BCD$中，$\angle BDC = 90° - 53° = 37°$，$CD = 90$米，$\cos\angle BDC=\frac{BD}{CD}$，
$\therefore BD = CD·\cos37°\approx90×0.80 = 72$(米).(6分)
在$Rt\triangle ABD$中，$\angle A = 37°$，$BD = 72$米，$\tan A=\frac{BD}{AB}$，$\therefore AB=\frac{BD}{\tan37°}\approx\frac{72}{0.75}=96$(米).
答：A、B两点间的距离约为96米.(10分)