《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

18. 如图，将一张等边三角形纸片剪成 4 个大小、形状一样的小等边三角形，记为第 1 次操作，然后将其中左下角的等边三角形又按同样的方法剪成四个小等边三角形，共得到 7 个等边三角形，记为第 2 次操作，第 3 次操作，若每次都把左下角的等边三角形按此方法剪成四个小等边三角形，如此循环进行下去……

(1)第 4 次操作后共得到等边三角形的个数为13，第$n$次操作后共得到等边三角形的个数 为$3n+1$.
(2)若原等边三角形的边长为 1，设$a_{n}$表示第$n$次操作后所得的最小等边三角形的边长，例如： $a_{1} = \frac{1}{2},a_{2} = \frac{1}{4}$，求：
(ⅰ)$a_{3} =$$\frac{1}{8}$.
(ⅱ)$1 - a_{1} - a_{2} - a_{3} - ·s - a_{2025} =$$\frac{1}{2^{2025}}$.

答案： 18 解：
(1)13,$3n+1$。(2分)
(2)(ⅰ)$\because a_{1}=\frac{1}{2}$，$a_{2}=\frac{1}{4}$，$a_{3}=\frac{1}{8}$，$·s$，
$\therefore a_{n}=\frac{1}{2^{n}}$。
故答案为$\frac{1}{8}$。(4分)
(ⅱ)由上述过程可知，$a_{1}+a_{2}+a_{3}+·s+a_{2025}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+·s+\frac{1}{2^{2025}}$。
令$S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+·s+\frac{1}{2^{2025}}$，
则$2S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+·s+\frac{1}{2^{2024}}$，
两式相减得，$S=1-\frac{1}{2^{2025}}$，即$a_{1}+a_{2}+a_{3}+·s+a_{2025}=1-\frac{1}{2^{2025}}$，
$\therefore 1-a_{1}-a_{2}-a_{3}-·s-a_{2025}=\frac{1}{2^{2025}}$。
故答案为$\frac{1}{2^{2025}}$。(8分)

19. 如图，一船以 20 海里/时的速度向西航行，在$A$处测得灯塔$B$在北偏西$60^{\circ}$的方向上，继续航行 1 小时到达$C$处，再测得灯塔$B$在北偏西$30^{\circ}$的方向上. 已知灯塔$B$四周 15 海里内有暗礁，问该船继续向西航行是否安全？

答案： 19 解：如图，过点$B$作$BD \perp AC$于点$B$，设$BD = x$海里，
$\because$在$Rt \triangle ABD$中，$AD = \frac{BD}{\tan \angle BAD} = \frac{x}{\tan 30^{\circ}} = \sqrt{3}x$，
在$Rt \triangle BCD$中，$CD = \frac{BD}{\tan \angle BCD} = \frac{x}{\tan 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{3}x$，
$\because AC = AD - CD$，由$\sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}}{3}x = 20$，
解得$x = 10\sqrt{3} ＞ 15$，即$BD ＞ 15$海里，
答：该船继续向西航行是安全的。(10分)