《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

15. 先化简,再求值:$ \frac{2}{x^{2}+2x+1}÷\frac{1}{x^{2}-1} $,其中$ x=3 $.

答案： 解：原式 = $\frac{2}{(x + 1)^2} · (x + 1)(x - 1)$
= $\frac{2x - 2}{x + 1}$. …………………(6分)
当x = 3时，原式 = $\frac{2×3 - 2}{3 + 1}$ = 1. …………………(8分)
解题步骤
先化简，再求值是分式运算中常见的考查形式，解答时要注意以下三点：
(1)一定要先化简，而且要化为最简分式或整式，再求值.化简时，除法运算一定要转化为乘法后再运算，分子、分母是多项式的，可先将分子、分母因式分解，再进行运算.
(2)求值时，要指出字母的取值，再代入计算.
(3)开放性的字母取值时，一定要使原分式及化简过程中出现的分式都有意义，切忌随心所欲地取值.

16. 如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系$ xOy $,$ \triangle ABC $的顶点和$ A_{1} $均为格点(网格线的交点).已知点$ A $和$ A_{1} $的坐标分别为$ (-1,-3) $和$ (2,6) $.
(1)在所给的网格图中描出边$ AB $的中点$ D $,并写出点$ D $的坐标.
(2)以点$ O $为位似中心,将$ \triangle ABC $放大得到$ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $,使得点$ A $的对应点为$ A_{1} $,请在所给的网格图中画出$ \triangle A_{1}B_{1}C_{1} $.

答案：
解：
(1)如图，点D即为所求. …………………(3分)
由图可得，点D的坐标为(-2,-1). …………………(5分)
(2)如图，△A₁B₁C₁即为所求. …………………(8分)

17. 某公司为庆祝新产品上市,在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛.如图所示,甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段$ AB $和$ CD $表示,彩带用线段$ AD $表示.工作人员在点$ A $处测得点$ C $的俯角为$ 23.8^{\circ} $,测得点$ D $的仰角为$ 36.9^{\circ} $.已知$ AB=13.20 $m,求$ AD $的长(精确到0.1 m).
参考数据:$ \sin23.8^{\circ}\approx0.40 $,$ \cos23.8^{\circ}\approx0.91 $,$ \tan23.8^{\circ}\approx0.44 $,$ \sin36.9^{\circ}\approx0.60 $,$ \cos36.9^{\circ}\approx0.80 $,$ \tan36.9^{\circ}\approx0.75 $.

答案：
解：如图，过点A作AE⊥CD，垂足为点E，

由题意得，四边形ABCE为矩形，
∴CE = AB = 13.20m，…………………(2分)
在Rt△ACE中，tan∠CAE = $\frac{CE}{AE}$，
∴AE = $\frac{CE}{tan∠CAE}$ = $\frac{13.20}{tan23.8°}$ ≈ $\frac{13.20}{0.44}$ = 30.0(m)，…………………(5分)
在Rt△ADE中，cos∠DAE = $\frac{AE}{AD}$，
∴AD = $\frac{AE}{cos∠DAE}$ = $\frac{30.0}{cos36.9°}$ ≈ $\frac{30.0}{0.80}$ = 37.5(m)，
答：AD的长约为37.5m. …………………(8分)