《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

18. 【观察思考】
【规律发现】
请用含$n$的式子填空.
(1)第$n$个图案中“$◯$”的个数为3n.
(2)第1个图案中“$\bigstar$”的个数可表示为$\frac{1×2}{2}$,第2个图案中“$\bigstar$”的个数可表示为$\frac{2×3}{2}$,第3个图案中“$\bigstar$”的个数可表示为$\frac{3×4}{2}$,第4个图案中“$\bigstar$”的个数可表示为$\frac{4×5}{2}$……第$n$个图案中“$\bigstar$”的个数可表示为$\frac{n(n+1)}{2}$.
【规律应用】
(3)结合图案中“$\bigstar$”的排列方式及上述规律,求正整数$n$,使得连续的正整数之和$1+2+3+·s+n$等于第$n$个图案中“$◯$”的个数的2倍.

答案： 18 解：
(1)$3n$。(3分)
(2)$\frac{n(n + 1)}{2}$。(5分)
(3)由题意得，$\frac{n(n + 1)}{2} = 2 × 3n$，解得$n = 11$或$n = 0$(不符合题意)，故正整数n的值为11。(8分)

19. 如图,$O,R$是同一水平线上的两点,无人机从$O$点竖直上升到$A$点时,测得$A$到$R$点的距离为40 m,$R$点的俯角为$24.2^{\circ}$,无人机继续竖直上升到$B$点,测得$R$点的俯角为$36.9^{\circ}$.求无人机从$A$点到$B$点的上升高度$AB$(精确到0.1 m).
参考数据:$\sin24.2^{\circ}\approx0.41,\cos24.2^{\circ}\approx0.91,\tan24.2^{\circ}\approx0.45,\sin36.9^{\circ}\approx0.60,\cos36.9^{\circ}\approx0.80,\tan36.9^{\circ}\approx0.75$.

答案： 19 解：由题意得，$\angle ORB = 36.9°$，$\angle ORA = 24.2°$，
在$Rt \triangle AOR$中，$AR = 40 m$，$\angle ORA = 24.2°$，
∴$OA = \sin \angle ORA × AR = \sin 24.2° × 40 \approx 16.4(m)$，$OR = \cos 24.2° × 40 \approx 36.4(m)$。(5分)
在$Rt \triangle BOR$中，$OB = \tan 36.9° × 36.4 \approx 27.3(m)$，
∴$AB = OB - OA = 27.3 - 16.4 = 10.9(m)$。
答：无人机从A点到B点的上升高度AB约为$10.9 m$。(10分)