《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

22. 如图,矩形$ABCD$中,$P$为对角线$BD$上一动点,过$P$点作$PE// CD$交$AC$于点$E$,作$PF// AC$交$AD$于点$F$,连接$DE,BE$.
(1)若$FP = EP$.
①求证:$DE$平分$\angle BDC$.
②求证:$\frac{1}{AB}+\frac{1}{AO}=\frac{1}{FP}$.
(2)已知$DO = DE = 4$,且$P$为$DO$的中点,求矩形$ABCD$的周长.

答案： 22 解：
(1)①证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA = OD，
∴∠OAD = ∠ODA，
∵PF//AC，
∴∠PFD = ∠OAD，
∴∠PFD = ∠PDF，
∴PF = PD.
∵FP = EP，
∴PD = PE，
∴∠PDE = ∠PED，
∵PE//CD，
∴∠PED = ∠CDE，
∴∠ODE = ∠CDE，
∴DE平分∠BDC.
②证明：
∵PE//CD，
∴△OPE∽△ODC，
∴$\frac{OP}{OD}$ = $\frac{PE}{CD}$，
∵AB = CD，OP = OD - PD = OA - PF，PE = PF，
∴$\frac{OA - PF}{OA}$ = $\frac{PF}{AB}$，
整理可得$\frac{1}{AB}$ + $\frac{1}{AO}$ = $\frac{1}{FP}$.
(2)如图，作DG⊥AC于点G，
∵DO = DE = 4，且P为DO中点，
∴PO = PD = 2，OC = OD = 4，
∵△OPE∽△ODC，
∴$\frac{OP}{OD}$ = $\frac{OE}{OC}$，即$\frac{2}{4}$ = $\frac{OE}{4}$，
∴OE = 2，
∴EC = OC - OE = 2.
∵DG⊥AC，
∴OG = EG = $\frac{1}{2}$OE = 1，
∴DG = $\sqrt{OD² - OG²}$ = $\sqrt{15}$，GC = GE + EC = 1 + 2 = 3，
∴CD = $\sqrt{GC² + DG²}$ = 2$\sqrt{6}$，AD = $\sqrt{AC² - CD²}$ = 2$\sqrt{10}$，
∴矩形ABCD的周长 = 2(AD + CD) = 2(2$\sqrt{10}$ + 2$\sqrt{6}$) = 4$\sqrt{10}$ + 4$\sqrt{6}$.

23. 如图,抛物线$y = ax^{2}+bx + 6$与$x$轴交于点$A,B$,与$y$轴交于点$C$,$OB = OC = 3OA$.
(1)求抛物线的对称轴.
(2)点$P(m,n)(m\geq2)$是抛物线上一个动点,连接$AP,CP$,$AP$交$y$轴于点$D$,作$PQ\perp x$轴于点$Q$.
①若点$Q$是$OB$的中点,求$\triangle PAC$的面积.
②若以点$C,D,P,Q$为顶点的四边形为平行四边形,求$m$的值.

答案：
23 解：
(1)由题意得，c = 6 = OC = OB = 3AO，则点A，B，C的坐标分别为(- 2，0)，(6，0)，(0，6)，则抛物线的表达式为y = a(x + 2)(x - 6) = a(x² - 4x - 12)，
∴ - 12a = 6，即a = - $\frac{1}{2}$，
∴抛物线的表达式为y = - $\frac{1}{2}$x² + 2x + 6，
∴对称轴为直线x = 2.
(2)设点P(m，- $\frac{1}{2}$m² + 2m + 6)，由点A，P的坐标，得直线AP的表达式为y = - $\frac{1}{2}$(m - 6)(x + 2)，则点D(0，6 - m).
①
∵Q是OB中点，
∴Q(3，0)，P(3，$\frac{15}{2}$)，
∴OQ = 3，PQ = $\frac{15}{2}$，
∴S△APC = S△AOC + S梯形COQP - S△APQ
= $\frac{1}{2}$×2×6 + $\frac{1}{2}$×($\frac{15}{2}$ + 6)×3 - $\frac{1}{2}$×(2 + 3)×$\frac{15}{2}$
= 6 + $\frac{81}{4}$ - $\frac{75}{4}$ = $\frac{15}{2}$.
②(ⅰ)当CQ为对角线时，PQ = CD，P在Q上方，
∴6 - (6 - m) = - $\frac{1}{2}$m² + 2m + 6，
解得m = 1 ± $\sqrt{13}$，
∵m ≥ 2，
∴m = 1 + $\sqrt{13}$；
(ⅱ)当CP为对角线时，PQ = CD，P在Q下方，
∴6 - (6 - m) = - (- $\frac{1}{2}$m² + 2m + 6)，
解得m = 3 ± $\sqrt{21}$，
∵m ≥ 2，
∴m = 3 + $\sqrt{21}$.
综上，m的值为1 + $\sqrt{13}$或3 + $\sqrt{21}$.
一题多解
(2)①
∵Q是OB中点，
∴Q(3，0)，P(3，$\frac{15}{2}$)
设直线AP的表达式为y = kx + b₁，则$\begin{cases}-2k + b₁ = 0\\3k + b₁ = \frac{15}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = \frac{3}{2}\\b₁ = 3\end{cases}$，
∴直线AP的表达式为y = $\frac{3}{2}$x + 3.
令x = 0，得y = 3，
∴D(0，3)，
∴S△APC = $\frac{1}{2}$CD×|x_P - x_A| = $\frac{1}{2}$×3×5 = $\frac{15}{2}$.