《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

8. 如图,在菱形ABCD中,$AB=2$,$\angle A=120^{\circ}$,过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB,BC的垂线,交各边于点E,F,G,H,则四边形EFGH的周长为 (A)


A.$3+\sqrt{3}$
B.$2+2\sqrt{3}$
C.$2+\sqrt{3}$
D.$1+2\sqrt{3}$

答案： 8 A 【解析】如图，连接BD，AC。
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠BAO=∠DAO=60°，BD⊥AC，
∴∠ABO=∠CBO=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$AB=1，OB=$\sqrt{3}$OA=$\sqrt{3}$，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，BD平分∠ABC，易得OE=OF，BE=BF，又
∵∠EBF=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF=BE=$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$，同理可证△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，
∴EF=GH=$\frac{3}{2}$，EH=FG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴四边形EFGH的周长=3+$\sqrt{3}$。故选A.

9. 如图,在三条横线和三条竖线组成的图形中,任选两条横线和两条竖线都可以围成一个矩形,从这些矩形中任选一个,则所选矩形含点A的概率是 (D)


A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{3}{8}$
D.$\frac{4}{9}$

答案： 9 D 【解析】由题意知任选两条横线和两条竖线共可以围成9个不同的矩形，其中含点A的矩形有4个，故从这些矩形中任选一个，所选矩形含点A的概率是$\frac{4}{9}$。故选D.

10. 在$\triangle ABC$中,$\angle ACB=90^{\circ}$,分别过点B,C作$\angle BAC$平分线的垂线,垂足分别为点D,E,BC的中点是M,连接CD,MD,ME.则下列结论错误的是 (A)

A.$CD=2ME$
B.$ME// AB$
C.$BD=CD$
D.$ME=MD$

答案： 10 A 【解析】根据题意可作出图形如下：
| 选项 | 分析 | 结论是否正确 |
| --- | --- | --- |
| B | 如图，延长CE交AB于点F。
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠FAE，又
∵∠AEC=∠AEF=90°，AE=AE，
∴△ACE≌△AFE，
∴CE=FE。又
∵点M是BC的中点，
∴EM是△BCF的中位线，
∴EM//BF，即EM//AB。 | 是 |
| C |
∵∠ACB=∠ADB=90°，
∴AB的中点到点A，C，D，B的距离相等，即四边形ACDB有外接圆。由∠CAD=∠BAD，易得∠CAD与∠DAB在四边形ACDB的外接圆中所对的弧相等，
∴CD=BD。 | 是 |
| D | 如图，延长EM交BD于点G。易知CE//BD，
∴∠ECM=∠GBM。又∠CME=∠BMG，CM=BM，
∴△CEM≌△BGM，
∴EM=GM，
∴DM是Rt△EDG斜边EG上的中线，
∴EM=DM。 | 是 |
| A | 仅当∠DCM=30°时，CD=2DM=2ME，此时∠CAB=60°，而题中∠CAB的度数不确定。 | 否 |
一题多解：如图，延长CE交AB于点N，延长AC，BD交于点P。
∵CE⊥AD，BD⊥AD，
∴CN//PB，
∴$\frac{AC}{CP}=\frac{AN}{NB}$。
∵AD平分∠BAC，易得△ACE≌△ANE，△APD≌△ABD，
∴AP=AB，AC=AN，CE=EN，PD=BD，
∴BN=CP。
∵M是BC的中点，
∴EM是△CBN的中位线，DM是△BCP的中位线，
∴EM=$\frac{1}{2}$BN，DM=$\frac{1}{2}$CP，EM//AB，
∴EM=DM，故选项B，D正确。
∵∠ACB=90°，
∴∠BCP=90°，
∵BD=PD，
∴$\frac{1}{2}$BP=BD，故选项C正确。仅当∠DCM=30°时，CD=2DM=2ME，此时∠CAB=60°，而题中∠CAB的度数不确定，故选项A错误，故选A。

11. 计算:$\sqrt{4}+(-1)^{0}=$ 3.

答案： 11 3

12. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,其底面是正方形,侧面是全等的等腰三角形.底面正方形的边长与侧面等腰三角形底边上的高的比值是$\sqrt{5}-1$,它介于整数$n$和$n+1$之间,则$n$的值是 1.

答案： 12 1

13. 如图,圆O的半径为1,$\triangle ABC$内接于圆O.若$\angle A=60^{\circ}$,$\angle B=75^{\circ}$,则$AB=$ $\sqrt{2}$.

答案： 13 $\sqrt{2}$ 【解析】如图，连接OA，OB，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=75°，
∴∠ACB=180°−∠BAC−∠ABC=45°，
∴∠AOB=90°，
∵OA=OB，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$OA=$\sqrt{2}$。

14. 设抛物线$y=x^{2}+(a+1)x+a$,其中$a$为实数.
(1) 若抛物线经过点$(-1,m)$,则$m=$ 0.
(2) 将抛物线$y=x^{2}+(a+1)x+a$向上平移2个单位,所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 2.

答案：
14
(1)0(2分)
(2)2(3分)
【解析】
(1)点(−1,m)代入y=x²+(a+1)x+a，得(−1)²+(a+1)×(−1)+a=m，解得m=0。
(2)原抛物线顶点的纵坐标为$\frac{4a−(a+1)^2}{4}=\frac{−a^2+2a−1}{4}=−\frac{1}{4}(a−1)^2$，向上平移2个单位后所得抛物线顶点的纵坐标n=$−\frac{1}{4}(a−1)^2+2$，
∵$−\frac{1}{4}$＜0，
∴n的最大值为2。

15. 解不等式:$\frac{x-1}{3}-1＞0$.

答案： 15 解：去分母，得x−1−3＞0，……………… (4分)
移项及合并同类项，得x＞4。 ………… (8分)