《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

14. 如图,在平面直角坐标系中,点P是反比例函数$y=\dfrac{2}{x}$图象第一象限分支上任意一点,连接OP,过点P作$PA \perp y$轴,垂足为点A,过点A作OP的平行线,该平行线与x轴交于点B,并交$y=\dfrac{2}{x}$图象第三象限的分支于点C.
(1)$S_{\triangle AOP}=$1.
(2)$\dfrac{AB}{BC}$的值为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$.

答案： 14
(1)(2分)
(2)$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$(3分)
【解析】
(1)
∵PA⊥y轴，且P在反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上，
∴S△AOP=$\frac{1}{2}$×2=1。
(2)如图，作CH⊥y轴于H，设P(a,$\frac{2}{a}$)，直线OP为y=kx，
∴$\frac{2}{a}=ka$，A(0,$\frac{2}{a}$)，
∴k=$\frac{2}{a²}$，
∴直线OP的表达式为y=$\frac{2}{a²}x$。
∵AC//OP，
∴直线AC的表达式为y=$\frac{2}{a²}x+\frac{2}{a}$。联立
y=$\frac{2}{x}$，
y=$\frac{2}{a²}x+\frac{2}{a}$，
∴x=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}a$或x=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}a$，
∴C($\frac{-1-\sqrt{5}}{2}a$,$\frac{1-\sqrt{5}}{a}$)，
∴OH=$\frac{\sqrt{5}-1}{a}$
∵OB//CH，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{AO}{OH}=\frac{\frac{2}{a}}{\frac{\sqrt{5}-1}{a}}=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$。

15. 先化简,再求值:$\dfrac{x^{2}}{x-1}-\dfrac{1}{x-1}$,其中$x=\sqrt{3}-1$.

答案： 15 解：原式=$\frac{x²-1}{x-1}$
=$\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$
=x+1。 ………………(6分)
当x=$\sqrt{3}-1$时，原式=$\sqrt{3}-1+1=\sqrt{3}$。 …………(8分)

16. 新情境·中华优秀传统文化 如图1,“燕几”(宴几)是世界上最早的一套组合桌,设计者是北宋进士黄伯思.全套“燕几”一共有七张桌子,每张桌子高度相同,其桌面共有三种尺寸,包括2张长桌、2张中桌和3张小桌,每张桌面的宽都相等.七张桌面可组合成不同的图形.如图2给出了名称为“回文”的桌面拼合方式.若已知“回文”的桌面总面积是45平方尺,问长桌的长为多少尺?

答案： 16 解：设长桌的长为a尺，宽为b尺，
则根据所给图形可知，小桌的长为a-2b，中桌的长为a-2b+b=a-b，
则$\begin{cases} a(a+b)=45 \\ a-2b=2b \end{cases}$，解得$\begin{cases} a=6 \\ b=\frac{3}{2} \end{cases}$，
答：长桌的长为6尺。 ………………(8分)
一题多解
设每张桌面的宽为x尺，
根据图形可得小桌的长为2x尺，中桌的长为3x尺，长桌的长为4x尺，
∴2×4x²+2×3x²+3×2x²=45，
解得x₁=$\frac{3}{2}$，x₂=$-\frac{3}{2}$(舍去)，
∴4x=4×$\frac{3}{2}=6$。
答：长桌的长为6尺。

17. 如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,$\triangle ABC$的顶点均为格点(网格线的交点).
(1)将$\triangle ABC$向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$,画出$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$.
(2)以点$B_{1}$为位似中心,将$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$放大至原来的3倍,得到$\triangle A_{2}B_{1}C_{2}$,请在网格内画出$\triangle A_{2}B_{1}C_{2}$.
(3)直接写出$\triangle ABC$的面积与四边形$A_{1}C_{1}C_{2}A_{2}$的面积之比为:1:8.

答案：
17 解：
(1)如图，△A₁B₁C₁即为所求。 …………(3分)
(2)如图，△A₂B₁C₂即为所求。 …………(6分)
(3)由题意得，S△A₁B₁C₁=S△ABC，S△A₂B₁C₂：S△ABC=9:1，
∴S△ABC：S四边形A₁C₁C₂A₂=S△ABC：(S△A₂B₁C₂-S△A₁B₁C₁)=1:8。
故答案为1:8。 ………………(8分)