《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

8. 某校开设了击剑、机器人、趣味数学三门特色课程,小明同学从中随机选取两门课程,恰好选中击剑和趣味数学的概率为 (A)

A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$

答案：
8 A 【解析】把击剑、机器人、趣味数学三门特色课程分别记为A,B,C,画树状图如下:

共有6种等可能的结果,其中恰好选中击剑和趣味数学的结果有2种,
∴恰好选中击剑和趣味数学的概率为$\frac{2}{6}$ = $\frac{1}{3}$.故选A.

9. 如图,抛物线$y_1 = a(x + 1)^2 + 2$与$y_2 = -(x - 2)^2 - 1$交于点$B(1, -2)$,且分别与$y$轴交于点$D$,$E$.过点$B$作$x$轴的平行线,交抛物线于点$A$,$C$,则以下结论错误的是 (C)


A.无论$x$取何值,$y_2$总是负数
B.抛物线$y_2$可由抛物线$y_1$向右平移$3$个单位,再向下平移$3$个单位得到
C.当$-3 ＜ x ＜ 1$时,随着$x$的增大,$y_1 - y_2$的值先增大后减小
D.若依次连接$AE$,$EC$,$CD$,$DA$,则四边形$AECD$为正方形

答案： 9 C 【解析】逐项分析如下.故选C.
结论 分析 结论是否正确
A
∵(x - 2)² ≥ 0,
∴ - (x - 2)² ≤ 0,
∴y₂ = - (x - 2)² - 1 ≤ - 1 ＜ 0,
∴无论x取何值,y₂总是负数. 是
B 抛物线y₁ = a(x + 1)² + 2与抛物线y₂ = - (x - 2)² - 1交于点B(1,-2),
∴当x = 1时,y = - 2,即 - 2 = a(1 + 1)² + 2,解得a = - 1,
∴y₁ = - (x + 1)² + 2,
∴抛物线y₂可由抛物线y₁向右平移3个单位,再向下平移3个单位得到. 是
C
∵y₁ - y₂ = - (x + 1)² + 2 - [ - (x - 2)² - 1] = - 6x + 6,
∴随着x的增大,y₁ - y₂的值减小. 否
D 设AC与DE交于点F,
∵当y = - 2时, - (x + 1)² + 2 = - 2,解得x = - 3或x = 1,
∴点A(-3,-2),当y = - 2时, - (x - 2)² - 1 = - 2,解得x = 3或x = 1,
∴点C(3,-2),
∴AF = CF = 3,AC = 6,当x = 0时y₁ = 1,y₂ = - 5,
∴DE = 6,DF = EF = 3,
∴四边形AECD为平行四边形,
∵AC = DE,
∴四边形AECD为矩形,又
∵AC⊥DE,
∴四边形AECD为正方形. 是

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 90°$,$AB = AC$,点$D$为斜边$BC$上的中点,点$E$,$F$分别在直角边$AB$,$AC$上运动(不与端点重合),且保持$AE = CF$,连接$DE$,$DF$,$EF$.设$BE = m$,$CF = n$,$EF = p$.在点$E$,$F$的运动过程中,给出下面三个结论:①$\frac{p}{m + n} ＜ 1$;②$m^2 = (p + n)(p - n)$;③$p$的最小值为$\frac{\sqrt{2}(m + n)}{2}$.上述结论中,所有正确结论的序号是 (A)


A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③

答案： 10 A 【解析】逐项分析如下.故选A.
序号 分析 结论是否正确
①
∵AB = AC,AE = CF = n,
∴BE = AF = m,
∵点E,F分别在直角边AB,AC上运动(不与端点重合)
∴AF + AE ＞ EF,即m + n ＞ p,
∴$\frac{p}{m + n}$ ＜ 1. 是
②
∵∠A = 90°,
∴在Rt△AFE中,AF = m,AE = n,EF = p,由勾股定理得AF² + AE² = EF²,即m² + n² = p²,
∴m² = p² - n² = (p + n)(p - n).如图,连接AD,设AD = h,在△ABC中,∠A = 90°,AB = AC,点D为斜边BC上的中点,
∴AD⊥BC,AD = CD = BD = h,在Rt△ACD中,由勾股定理得AD² + CD² = AC²,
∴2h² = (m + n)²,即h² = $\frac{1}{2}$(m + n)²,即h = $\frac{\sqrt{2}(m + n)}{2}$,
∵p² = m² + n²,
∴p² - h² = (m² + n²) - $\frac{1}{2}$(m + n)² = $\frac{1}{2}$(m - n)² ≥ 0,当且仅当m = n时,即点E,F分别为AB,AC的中点时,$\frac{1}{2}$(m - n)² = 0,此时p = h,即p = $\frac{\sqrt{2}(m + n)}{2}$,当m ≠ n时,即点E,F不是AB,AC的中点时,$\frac{1}{2}$(m - n)² ＞ 0,此时p ＞ h,即p ＞ $\frac{\sqrt{2}(m + n)}{2}$,
∴p ≥ $\frac{\sqrt{2}(m + n)}{2}$,且等号可以取到,即p的最小值为$\frac{\sqrt{2}(m + n)}{2}$. 是

11. $\sqrt{9} - 1 = $2$$.

答案： 11 2

12. 若关于$x$的一元二次方程$x^2 - 4x + 2k = 0$有两个相等的实数根,则$k$的值为$$2$$.

答案： 12 2

13. 如图,函数$y = \frac{4}{x}$的图象经过矩形$OABC$的边$BC$的中点$E$,交$AB$于点$D$,则四边形$ODBC$的面积为$$6$$.

答案： 13 6 【解析】
∵四边形OABC是矩形,设OA = BC = a,AB = OC = b,
∵函数y = $\frac{4}{x}$的图象经过矩形OABC的边BC的中点E,
∴E(b,$\frac{1}{2}$a).如图,连接OE,设D(x,a),
∵函数y = $\frac{4}{x}$的图象经过点D,E,
∴S△AOD = S△OEC,
∴$\frac{1}{2}$·a·x = $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$a×b,
∴x = $\frac{1}{2}$b,
∴AD = $\frac{1}{2}$AB,
∴点D是AB的中点,
∴S△AOD = $\frac{1}{3}$S四边形OCBD = $\frac{1}{2}$×4 = 2,
∴四边形ODBC的面积为6.