《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

13. 如图，一次函数$y = x + k + 1(k＞0)$的图象与$x$轴和$y$轴分别交于点$A$和点 $B$，与反比例函数$y = \frac{k + 2}{x}$的图象在第一象限内交于点$C$，过点$C$作$CE\perp x$ 轴，$CD\perp y$轴. 垂足分别为点$E$，$D$. 当矩形$ODCE$的面积是$\triangle OAB$的面积的 2 倍时，$k$的值为 $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.

答案： 13 $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ 【解析】由题意得，$S_{矩形ODCE}=k+2$，
∵一次函数$y=x+k+1(k＞0)$的图象与$x$轴和$y$轴分别交于点$A$和点$B$，$\therefore B(0,k+1)$，$A(-k-1,0)$，$\therefore S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}(k+1)^{2}$，
∵矩形$ODCE$的面积是$\triangle OAB$的面积的2倍，$\therefore k+2=2×\frac{1}{2}(k+1)^{2}$，整理得$k^{2}+k-1=0$，解得$k=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$k=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$(舍去)。

14. 在平面直角坐标系$xOy$中，将抛物线$C_{1}:y = ax^{2}-2atx(a＞0)$向右平移 2 个单位得到抛物线 $C_{2}$，点$A(\frac{3t}{2},y_{1})$在抛物线$C_{1}$上，点$B(x_{2},y_{2})$在抛物线$C_{2}$上.
(1)当$t = 1$时，抛物线$C_{2}$的对称轴为直线$x =$3.
(2)当$t = 2a,5＜x_{2}＜6$时，总有$y_{1}＞y_{2}$，则$a$的取值范围是$\frac{4}{3}\leq a\leq 3$.

答案： 14
(1)3(2分)
(2)$\frac{4}{3}\leq a\leq 3$(3分)
【解析】
(1)当$t=1$时，则抛物线$C_{1}$为$y=ax^{2}-2ax=a(x-1)^{2}-a$，将抛物线$C_{1}:y=ax^{2}-2ax(a＞0)$向右平移2个单位得到抛物线$C_{2}$为$y=a(x-3)^{2}-a$，$\therefore$抛物线$C_{2}$的对称轴为直线$x=3$。
(2)当$t=2a$时，抛物线$C_{1}$为$y=ax^{2}-4a^{2}x=a(x-2a)^{2}-4a^{3}$，点$A(3a,y_{1})$，$\therefore y_{1}=9a^{3}-12a^{3}=-3a^{3}$，$\because$将抛物线$C_{1}:y=ax^{2}-2atx(a＞0)$向右平移2个单位得到抛物线$C_{2}$，
∴抛物线$C_{2}$为$y=a(x-2a-2)^{2}-4a^{3}$，$\because$点$B(x_{2},y_{2})$在抛物线$C_{2}$上，
∴$y_{2}=a(x_{2}-2a-2)^{2}-4a^{3}$，$\because y_{1}＞y_{2}$，$\therefore -3a^{3}＞a(x_{2}-2a-2)^{2}-4a^{3}$，$\because a＞0$，
$\therefore -3a^{2}＞(x_{2}-2a-2)^{2}-4a^{2}$，$\therefore a^{2}＞(x_{2}-2a-2)^{2}$，$\therefore x_{2}-2a-2＜a$或$x_{2}-2a-2＞-a$，
$\therefore \begin{cases} x_{2}＜3a+2 \\ x_{2}＞a+2 \end{cases}$
$\because 5＜x_{2}＜6$时，总有$y_{1}＞y_{2}$，
$\therefore \begin{cases} a+2\leq5 \\ 3a+2\geq6 \end{cases}$，解得$\frac{4}{3}\leq a\leq 3$。

15. 化简：$\frac{m - 15}{m^{2} - 9} + \frac{2}{m - 3}$.

答案： 15 解：原式=$\frac{m-15}{(m+3)(m-3)}+\frac{2m+6}{(m+3)(m-3)}$
=$\frac{m-15+2m+6}{(m+3)(m-3)}$
=$\frac{3m-9}{(m+3)(m-3)}$
=$\frac{3(m-3)}{(m+3)(m-3)}$
=$\frac{3}{m+3}$。(8分)

16. 某市 2023 年的耕地面积和林地面积共有 1 000 万亩，2024 年该市响应国家“退耕还林”号召，将一部分耕地恢复为林地后，耕地面积减少了$20\%$，林地面积增加了$60\%$. 求 2023 年耕地面积和林地面积分别是多少万亩？

答案： 16 解：设原有耕地面积为x万亩，林地面积为y万亩，
由题意得，$\begin{cases} x+y=1000 \\ (1-20\%)x+(1+60\%)y=1000 \end{cases}$，
解得$\begin{cases} x=750 \\ y=250 \end{cases}$，
答：2023年耕地面积为750万亩，林地面积为250万亩。 (8分)

17. 如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系$xOy$，格点(网格线的交点)$A,B,C$的坐标分别为$(-2,4),(-5,1),(-1,1)$.
(1)画出$\triangle ABC$关于$x$轴对称的$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$.($A,B,C$的对应点分别为$A_{1},B_{1},C_{1}$)
(2)以原点$O$为旋转中心，将$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$按逆时针方向旋转$90^{\circ}$，得到$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$，请画出$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$.($A_{1},B_{1},C_{1}$的对应点分别为$A_{2},B_{2},C_{2}$)
(3)直接写出$\triangle ABC$的外心坐标.

答案：
17 解：
(1)如图，$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$即为所求。(3分)
(2)如图，$\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$即为所求。(6分)
(3)$\triangle ABC$的外心坐标为(−3,2)。(8分)