《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

20. 如图，$BC$是$\odot O$的直径，$AB,AD$与$\odot O$相切于点$B,D$，过点$C$作$CE// AD$分别交$AB,AO$于 $E,F$两点，连接$CD$.
(1)求证：四边形$ADCF$是平行四边形.
(2)若$\odot O$的半径为$\sqrt{10},AD = 5$，求$AE$的长.

答案：
20 解：
(1)证明：如图，连接$OD$，
$\because AB$，$AD$与$\odot O$相切于点$B$，$D$，
$\therefore OB \perp AB$，$OD \perp AD$，
$\therefore \angle ABO = \angle ADO = 90^{\circ}$。
在$Rt \triangle ABO$和$Rt \triangle ADO$中，$\begin{cases} OB=OD \\ OA=OA \end{cases}$，
$\therefore Rt \triangle ABO \cong Rt \triangle ADO (HL)$，
$\therefore \angle AOB = \angle AOD = \frac{1}{2} \angle BOD$。
$\because \angle BCD = \frac{1}{2} \angle BOD$，$\therefore \angle AOB = \angle BCD$，
$\therefore AO // CD$，
又$\because CE // AD$，
$\therefore$四边形$ADCF$是平行四边形。(5分)
(2)由
(1)知$Rt \triangle ABO \cong Rt \triangle ADO$，
$\therefore \angle BAO = \angle DAO$，$AB = AD = 5$，
$\because CE // AD$，$\therefore \angle AFE = \angle DAO$，
$\therefore \angle AFE = \angle BAO$，$\therefore AE = EF$。
$\because$四边形$ADCF$是平行四边形，$\therefore FC = AD = 5$。
设$AE = EF = x$，则$BE = AB - AE = 5 - x$，$EC = EF + FC = 5 + x$，
$\because \odot O$的半径为$\sqrt{10}$，$\therefore BC = 2\sqrt{10}$
$\because \angle ABC = 90^{\circ}$，$\therefore BE^{2} + BC^{2} = EC^{2}$，
$\therefore (5 - x)^{2} + (2\sqrt{10})^{2} = (5 + x)^{2}$，$\therefore x = 2$。
$\therefore AE$的长为2。(10分)

21. 为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生中随机抽取 20 名学生竞赛成绩(百分制). 数学兴趣小组对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告(不完整)：

根据所给信息，请完成以上所有任务.

答案： 21 解：任务1 ①补全条形统计图，如图所示：…(2分)
②“80分”所在扇形的圆心角的度数为：$(1-15\%-15\%-15\%-35\%)×360^{\circ}=72^{\circ}$。(4分)
③九年级学生成绩的中位数$n=\frac{80+90}{2}=85$。
故答案为85。(6分)
任务2 $1200×(1-15\%-15\%)=840$(人)，
答：估计成绩不低于80分的人数为840人。(9分)
任务3 我认为九年级成绩更好。
理由：由分析表可知两个年级的平均数相同，但九年级的中位数高于八年级，所以九年级的成绩更好。(注：能应用合适的统计量比较分析，言之有理即可)(12分)