《2026年1号卷中考试题精编九年级数学安徽专版》

9. 在同一平面直角坐标系中,一次函数$y=ax+a^{2}$与$y=a^{2}x+a$的图象可能是 (D)

答案： D 【解析】当$x=1$时，两个函数的函数值都是$a^2+a$，$\therefore$两直线的交点的横坐标为1，可排除A、C选项；若$a＞0$，则两直线都经过第一、二、三象限，此时B、D选项都不符合；若$a＜0$，则直线$y=ax+a^2$经过第一、二、四象限，D选项符合.故选D.

10. 已知点$O$是边长为6的等边$\triangle ABC$的中心,点$P$在$\triangle ABC$外,$\triangle ABC$,$\triangle PAB$,$\triangle PBC$,$\triangle PCA$的面积分别记为$S_{0}$,$S_{1}$,$S_{2}$,$S_{3}$.若$S_{1}+S_{2}+S_{3}=2S_{0}$,则线段$OP$长的最小值是 (B)

A.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
B.$\frac{5\sqrt{3}}{2}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$\frac{7\sqrt{3}}{2}$

答案：
B 【解析】不妨假设点$P$在$AB$的左侧，$\because S_{\triangle PAB}+S_{\triangle ABC}=S_{\triangle PBC}+S_{\triangle PAC}$，$\therefore S_1+S_0=S_2+S_3$，$\because S_1+S_2+S_3=2S_0$，$\therefore S_1+S_0=2S_0$，$\therefore S_1=\frac{1}{2}S_0$，$\because\triangle ABC$是等边三角形，边长为6，$\therefore S_0=\frac{\sqrt{3}}{4}×6^2=9\sqrt{3}$，$\therefore S_1=\frac{9\sqrt{3}}{2}$.过点$P$作$AB$的平行线$PM$，连接$CO$并延长交$AB$于点$R$，交$PM$于点$T$.$\because\triangle PAB$的面积是定值，$\therefore$点$P$的运动轨迹是直线$PM$，$\because O$是$\triangle ABC$的中心，$\therefore CT\perp AB$，$CT\perp PM$，$\frac{1}{2}· AB· RT=\frac{9\sqrt{3}}{2}$，$CR=3\sqrt{3}$，$OR=\sqrt{3}$，$\therefore RT=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\therefore OT=OR+RT=\frac{5\sqrt{3}}{2}$，$\because OP\geq OT$，$\therefore OP$的最小值为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$.当点$P$在区域②时，同理可得$OP$的最小值为$\frac{7\sqrt{3}}{2}$.
如图，当点$P$在区域①③⑤时，$OP$的最小值为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，当点$P$在区域②④⑥时，最小值为$\frac{7\sqrt{3}}{2}$，$\because\frac{5\sqrt{3}}{2}＜\frac{7\sqrt{3}}{2}$.故选B.

11. 不等式$\frac{x-3}{2}\geq1$的解集为$x\geq5$.

答案： $x\geq5$

12. 若一元二次方程$2x^{2}-4x+m=0$有两个相等的实数根,则$m=$2$$.

答案： 2

13. 如图,$□ OABC$的顶点$O$是坐标原点,$A$在$x$轴的正半轴上,$B$,$C$在第一象限,反比例函数$y=\frac{1}{x}$的图象经过点$C$,$y=\frac{k}{x}(k\neq0)$的图象经过点$B$.若$OC=AC$,则$k=$3$$.

答案： 3

14. 如图,四边形$ABCD$是正方形,点$E$在边$AD$上,$\triangle BEF$是以$E$为直角顶点的等腰直角三角形,$EF$,$BF$分别交$CD$于点$M$,$N$,过点$F$作$AD$的垂线交$AD$的延长线于点$G$.连接$DF$,请解决下列问题.
(1) $\angle FDG=$45$^{\circ}$.
(2) 若$DE=1$,$DF=2\sqrt{2}$,则$MN=$$\frac{26}{15}$$$.

答案：
14
(1)45(2分)
(2)$\frac{26}{15}$(3分)
【解析】
(1)由题知，$\triangle BEF$是以$E$为直角顶点的等腰直角三角形，$\therefore\angle AEB+\angle GEF=90°$，$\because\angle AEB+\angle ABE=90°$，$\therefore\angle GEF=\angle ABE$，在$\triangle ABE$和$\triangle GEF$中，$\begin{cases}\angle GEF=\angle ABE\\\angle A=\angle G=90°\\BE=EF\end{cases}$，$\therefore\triangle ABE\cong\triangle GEF$(AAS).$\therefore EG=AB=AD$，$GF=AE$，即$DG+DE=AE+DE$，$\therefore DG=AE$，$\therefore DG=GF$，即$\triangle DGF$是等腰直角三角形，$\therefore\angle FDG=45°$.
(2)$\because DE=1$，$DF=2\sqrt{2}$，由
(1)知，$\triangle DGF$是等腰直角三角形，$\therefore DG=GF=2$，$\therefore AB=AD=CD=ED+DG=2+1=3$.如图，延长$GF$交$BC$延长线于点$H$，易得$CD// GH$，$\therefore\triangle EDM\sim\triangle EGF$，$\therefore\frac{MD}{GF}=\frac{ED}{EG}$，即$\frac{MD}{2}=\frac{1}{3}$，$\therefore MD=\frac{2}{3}$.同理$\triangle BNC\sim\triangle BFH$，$\therefore\frac{NC}{FH}=\frac{BC}{BH}$，即$\frac{NC}{GH - GF}=\frac{BC}{BC + CH}$，$\because\frac{NC}{3 - 2}=\frac{3}{3 + 2}$，$\therefore NC=\frac{3}{5}$，$\therefore MN=CD - MD - NC=3-\frac{2}{3}-\frac{3}{5}=\frac{26}{15}$.